Enunciado

Determine a fórmula para a derivada em relação a x de

  1. sec ⁡ x
  2. c o s s e c   x
  3. c o t g   x

Passo 1

Precisamos obter a derivada de funções trigonométricas. Como todas as funções trigonométricas podem ser escritas em função de senos e cossenos, basta fazermos esta mudança e derivarmos a função obtida aplicando as devidas regras de derivada, como regra do produto e quociente.

Portanto, vamos então a questão!

Passo 2

Primeiramente, vamos escrever a nossa função através de senos e cossenos. Sendo assim, temos:

y = cos sec ⁡ x = 1 sen ⁡ x

Passo 3

Precisamos derivar a função obtida no passo anterior. Para isto, aplicaremos a regra do quociente. Portanto, temos:

y ' = 1 sen ⁡ x ' = 1 ' ⋅ sen ⁡ x - 1 ⋅ sen ⁡ x '   sen ⁡ x 2

y ' = - cos ⁡ x sen ⁡ x 2 = - cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ 1 sen ⁡ x

y ' = - c o t g   x ⋅ cos sec ⁡ x

Resposta

y ' = - c o t g   x ⋅ cossec ⁡ x

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Use a Fórmula (2) para provar que: d d x a r cc o t gx x = 0 = - 1 Use a parte (a) anterior, a parte (a) do Exercício 50 na Seção 0.4 e a Regra da Cadeia para mostrar que: d d x a r cc o t gx =-1 1 +