Calcule a integral

∫ - 2 0 5 - θ d θ

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ - 2 0 5 - θ d θ

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

∫ 5 - θ d θ

Façamos primeiramente uma mudança de variável. Se chamarmos u = - θ , teremos d u = - θ   d θ . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ 5 - θ d θ = - ∫ 5 u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Esta integral que obtemos é equivalente a seguinte integral, à qual já foi resolvida no livro.

∫ a u   d u = a u ln ⁡ a + k

E, para o nosso caso, temos que a = 5 . Portanto, a solução da nossa integral é:

- ∫ 5 u   d u = - 5 u   ln ⁡ 5 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- 5 u   ln ⁡ 5 + k = - 5 - θ   ln ⁡ 5 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ - 2 0 5 - θ d θ = - 5 - θ   ln ⁡ 5 - 2 0 = - 1 ln ⁡ 5 ⋅ 5 - θ - 2 0

∫ - 2 0 5 - θ d θ = - 1 ln ⁡ 5 ⋅ ( 5 0 - 5 2 )

∫ - 2 0 5 - θ d θ = - 1 ln ⁡ 5 ⋅ 1 - 25 = 24 ln ⁡ 5

Resposta

∫ - 2 0 5 - θ d θ = 24 ln ⁡ 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados