Enunciado

Determine uma fórmula para a função inversa f - 1 e verifique se ( f ∘ f - 1 ) ( x ) = ( f - 1 ∘ f ) ( x ) = x .

f ( x ) = 50 1 + 1,1 - x

Passo 1

Então, gente, o que o enunciado pede é pra vocês acharem a inversa daquele f ( x ) ali. Como que acho a inversa? É só trocar o x pelo y e isolar o y .

Depois vocês têm que fazer a composta da f com a inversa f - 1 que vocês acharam e ver se resulta em x . Depois disso, fazer o contrário: a composta de f - 1 com f e ver se dá x . Eu sei que dá medo, mas vem comigo que eu vou desmistificar isso aí!

Passo 2

Bora lá! Como eu disse no PASSO 1, pra achar a inversa de uma função, basta trocar o x com o y e isolar o y . Mas onde que tá nosso y ? Tá ali, no f ( x ) . Então, y = 50 1 + 1,1 - x , ok? Vamos trocar:

x   =   50 1   +   1,1 - y . Agora, vamos isolar o y . Passando o x   pro outro lado como divisão e o ( 1 + 1,1 - y ) pro outro, como multiplicação, e passando o 1 como subtração, chegamos em:

1 , 1 - y = 50 x - 1 .

Agora, vamos tirar o mínimo do lado direito, ficando assim:

1 , 1 - y = 50 - x x

Agora nós vamos precisar lembrar de uma propriedade. Você lembra

n - x = 1 n x

Vou fazer a mesma coisa com aquele 1 , 1 - y . Olha só: 1 1 , 1 y = 50 - x x

Passando o 1 , 1 y pra um lado, o x e o 50 - x pro outro, nós temos

1 , 1 y = x 50 - x

E agora, pra tirar esse y do expoente, que é a nossa incógnita, nós temos que usar o nosso queridíssimo logaritmo. Qual é a base? Vamos usar a base 1,1 pra fazer aquele 1,1 sumir, ok? Mas temos que usar o l o g dos 2 lados, senão não vai dar certo:

l o g 1,1 1 , 1 y = l o g 1,1   x 50 - x

Tem uma propriedade do logaritmo que diz que, se você tem um expoente dentro do l o g , você pode descer ele como multiplicação. Assim, ó:

y   l o g 1,1   1,1   =   l o g 1,1   x 50 - x

Mas temos que lembrar que: l o g x   x = 1 , para todo x ≠ 0 e x > 1 . Dessa forma:

f - 1 ( x )   =   y = l o g 1,1   x 50 - x

E essa é a nossa função inversa, sacou?

Vamos passar, então, para o passo 3.

Passo 3

Agora que temos a inversa, vamos ver se ( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   x .

f ( x )   =   50 1 + 1,1 - x e f - 1 ( x )   =   l o g 1,1 ( x 50   -   x ) .

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   50 1   +   1,1 - l o g 1,1 ( x 500   -   x ) , certo? Onde tem x em f ( x ) a gente colocou f - 1 ( x ) .

Agora, preciso te lembrar de uma propriedade de logaritmo:

a l o g a x   =   x . Tá vendo aquele 1,1 - l o g 1,1 ( x 50   -   x ) ?

A base do l o g é 1,1 e a base da potência também, então eu vou usar aquela propriedade. Mas tem uma coisa que atrapalha, que é aquele sinal de menos. Eu vou usar “a volta” da propriedade que desce o expoente e vou subir ele.

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   50 1   +   1,1 l o g 1,1 ( x 50   -   x ) - 1 e agora vou poder usar aquela propriedade.

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   50 1   +   ( x 50   -   x ) - 1   =   50 1   +   ( 50   -   x x )   =   50 x   +   50   -   x x   =   50 50 x . Repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda…

( f ∘ f - 1 ) ( x )   =   50   ⋅   x 50   =   x . Pronto, a primeira já foi!

Passo 4

Agora só falta ver se ( f - 1 ∘ f ) ( x )   =   x , f ( x )   =   50 1 + 1,1 - x , f - 1 ( x ) = l o g 1,1   x 50 - x

( f - 1 ∘ f ) ( x )   = l o g 1,1 ( ( 50 1   +   1,1 - x ) 50   -   ( 50 1   +   1,1 - x ) ) , porque onde tem x em f   - 1 a gente coloca f .

Pela propriedade de divisão no logaritmo:

( f - 1 ∘ f ) ( x ) = l o g 1,1 ( 50 1 + 1 , 1 - x ) - l o g 1,1 ( 50 - 50 1 + 1 , 1 - x )  

=   l o g 1,1 50   -   l o g 1,1 ( 1   +   1,1 - x )   -   l o g 1,1 ( 50 ( 1   +   1,1 - x )   -   50 1   +   1,1 - x )   =  

= l o g 1,1   50   -   l o g 1,1 ( 1   +   1,1 - x )   - ( l o g 1,1 ( 50 ( 1   +   1,1 - x )   -   50 )   -   l o g 1,1 ( 1   +   1,1 - x ) )   =    

= l o g 1,1   50   -   l o g 1,1 ( 1   +   1,1 - x )   - l o g 1,1 ( 50 ( 1   +   1,1 - x - 1 ) )   +   l o g 1,1 ( 1   +   1,1 - x )  

Cancelando os l o g s :

( f   - 1 ∘   f ) ( x )   =   l o g 1,1   50   -   l o g 1,1 ( 50 ( 1 , 1 - x ) )   =

=   l o g 1,1 50   -   ( l o g 1,1 50   +     l o g 1,1 1,1 - x )   =  

=   l o g 1,1 50   -     l o g 1,1 50   -     l o g 1,1 1,1 - x   =  

= -   l o g 1,1 1,1 - x

Pela propriedade que desce o expoente:

- l o g 1,1 1,1 - x   =   - ( - x )   ⋅   l o g 1,1 1,1   =   - ( - x ) = x , que é o que a gente queria.

Resposta

A fórmula é f - 1 ( x )   = l o g 1,1   x 50 - x e a verificação deu verdadeira.

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