Simplifique: log_2((e^(ln 2)(sen x)))

Passo 1

Então, galerinha, esse aí dá medo, né? Mais feio que o bicho papão! Mas vou te ensinar a enfrentar esse monstro de uma vez por todas! O problema quer que você deixe isso com uma cara mais fofinha e aceitável. Pra isso, basta fazermos o seguinte:

Passo 2) usar propriedades de logaritmo

Passo 3) pegar uma forma mais simples e achar a resposta

Passo 2

É o seguinte: vamos usar essa propriedade de logaritmo aqui:

l o g b     a n   =   n   l o g b     a

Ela, basicamente, desce o expoente do que tá dentro do log, beleza? Então, na nossa expressão (essa daqui l o g 2   ( e ( l n   2 ) ( s e n   x ) ) ) a gente vai descer o expoente que tá dentro do log e fica assim:

s e n   x   l o g 2   ( e l n   2 )

“Ué, por que você não desceu o l n   2 também??”

Calma, calma, é uma estratégia. Eu quero fazer aquele log ali virar algo que eu saiba de cara o que é, sem usar a calculadora. Mas, se eu tivesse descido o l n   2 , eu não saberia calcular apenas l o g 2   e . Eu sei que l n 2   e parece mais bonito do que o   l o g 2   ( e l n   2 ) , mas te garanto que desse jeito é melhor. Agora, vamos brincar com o que tá dentro do logaritmo (que é e l n   2 )pra melhorar um cadinho:

Antes de mais nada, vamos lembrar a definição básica de logaritmo:

l n     x   =   y   ⇒ e y   =   x

Isso vale pra qualquer x > 0 . Vamos colocar   y   = l n   2 . Porque eu peguei esse valor? Porque, se eu jogar   y   = l n   2 em e y   =   x , chega em x   = e l n   2 , que é o tá dentro do nosso logaritmo lá de cima. Ou seja, eu peguei o que é mais conveniente pra gente resolver essa questão.

Jogando   y   = l n   2 em l n   x   =   y , a gente chega em l n     x   =   l n   2 e agora vem a mágica da questão. Olha só, pra um lado ser igual ao outro, o x tem que ser igual a 2 , consegue ver? Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais! E aí vai um bizú: isso que a gente fez é uma propriedade de log, ou seja, vale pra outros casos!

Dessa forma, chegamos em: x   = 2 , mas x   = e l n   2 , então e l n   2   =   2 .

Passo 3

Voltando lá pra expressão original…

s e n   x   l o g 2   ( e l n   2 )   =   s e n   x   l o g 2   2

Vamos lembrar que l o g n   n   = 1 pra qualquer n ≠ 0   e   n   > 1

Então,

  s e n   x   l o g 2   2   =   s e n   x

Resposta

s e n   x

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