Enunciado

Simplifique: l o g _2 ( e^()^(( l n 2 ) ( s e n x )) )

Passo 1

Então, galerinha, esse aí dá medo, né? Mais feio que o bicho papão! Mas vou te ensinar a enfrentar esse monstro de uma vez por todas! O problema quer que você deixe isso com uma cara mais fofinha e aceitável. Pra isso, basta fazermos o seguinte:

Passo 2) usar propriedades de logaritmo

Passo 3) pegar uma forma mais simples e achar a resposta

Passo 2

É o seguinte: vamos usar essa propriedade de logaritmo aqui:

l o g _b a^()^n = n l o g _b a

Ela, basicamente, desce o expoente do que tá dentro do log, beleza? Então, na nossa expressão (essa daqui l o g _2 ( e^()^(( l n 2 ) ( s e n x )) ) ) a gente vai descer o expoente que tá dentro do log e fica assim:

s e n x l o g _2 ( e^()^(l n 2) )

“Ué, por que você não desceu o l n 2 também??”

Calma, calma, é uma estratégia. Eu quero fazer aquele log ali virar algo que eu saiba de cara o que é, sem usar a calculadora. Mas, se eu tivesse descido o l n 2 , eu não saberia calcular apenas l o g _2 e . Eu sei que l n _2 e parece mais bonito do que o l o g _2 ( e^()^(l n 2) ) , mas te garanto que desse jeito é melhor. Agora, vamos brincar com o que tá dentro do logaritmo (que é e^()^(l n 2) )pra melhorar um cadinho:

Antes de mais nada, vamos lembrar a definição básica de logaritmo:

l n x = y => e^()^y = x _

Isso vale pra qualquer x > 0 . Vamos colocar y = l n 2 . Porque eu peguei esse valor? Porque, se eu jogar y = l n 2 em e^()^y = x _ , chega em x = e^()^(l n 2) , que é o tá dentro do nosso logaritmo lá de cima. Ou seja, eu peguei o que é mais conveniente pra gente resolver essa questão.

Jogando y = l n 2 em l n x = y , a gente chega em l n x = l n 2 e agora vem a mágica da questão. Olha só, pra um lado ser igual ao outro, o x tem que ser igual a 2 , consegue ver? Isso é porque o logaritmo é uma função injetora, que quer dizer que se tem dois logs (de mesma base) iguais, quer dizer que os logaritmandos (o outro número que não é a base) tem que ser iguais! E aí vai um bizú: isso que a gente fez é uma propriedade de log, ou seja, vale pra outros casos!

Dessa forma, chegamos em: x = 2 , mas x = e^()^(l n 2) , então e^()^(l n 2) = 2 .

Passo 3

Voltando lá pra expressão original…

s e n x l o g _2 ( e^()^(l n 2) ) = s e n x l o g _2 2

Vamos lembrar que l o g _n n = 1 pra qualquer n != 0 e n > 1

Então,

s e n x l o g _2 2 = s e n x

Resposta

s e n x

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