Enunciado

Determine as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f e estabeleça os domínios das compostas.

f x = 1 + x 1 - x

g x = x 1 - x

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:

f ∘ g x = f g ( x )

Dessa forma, o domínio da composição f g ( x ) consiste em todo x no domínio de g com o qual g ( x ) está no domínio de f . Como assim?

Vamos ver o domínio de g e o de f , depois, vamos ver quais os valores do domínio de g que fazem g ( x ) se encaixar no domínio de f . Vai ficar melhor na prática!

Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = 1 + x 1 - x

A única coisa que restringe o nosso domínio é o denominador, pois não podemos ter uma divisão por 0 . Então:

1 - x ≠ 0

x ≠ 1

Assim, o domínio de f é:

( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ )

Ou seja, qualquer valor diferente de 1 .

E:

g x = x 1 - x

A única coisa que restringe o nosso domínio é o denominador, pois não podemos ter uma divisão por 0 . Então:

1 - x ≠ 0

x ≠ 1

Assim, o domínio de g é:

( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ )

Ou seja, qualquer valor diferente de 1 , assim como f ( x ) .

Passo 3

Primeiro, faremos f ∘ g .

Vamos colocar g dentro de f !! É só substituir o x de f pela função g ( x ) :

f ∘ g = 1 + x 1 - x 1 - x 1 - x

Vamos fazer o mmc em cima e embaixo:

f ∘ g = 1 - x + x 1 - x 1 - x - x 1 - x

Fazendo as contas:

f ∘ g = 1 1 - x 1 - 2 x 1 - x

Arrumando essa divisão:

f ∘ g = 1 1 - x ∙ 1 - x 1 - 2 x

Podemos simplificar 1 - x :

f ∘ g = 1 1 ∙ 1 1 - 2 x

f ∘ g = 1 1 - 2 x

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de g que tornam g um valor dentro do domínio de f .

O único valor que f não admite em seu domínio é x = 1 , certo? Então, temos que excluir os valores do domínio de g que o tornam 1 , ou seja:

g x ≠ 1

x 1 - x ≠ 1

x ≠ 1 - x

2 x ≠ 1

x ≠ 1 2

Então, x = 1 2 é um valor que torna g um valor que não pertence ao domínio de f . Além disso, x também não pode ser 1 , senão não pertencerá ao domínio de g !! Assim, o domínio da composição será qualquer valor diferente de 1 / 2 e 1 :

D o m í n i o = { x ∈ R   /   x ≠ 1 2 e   x ≠ 1 }  

Lê-se: x pertencente ( ) aos reais ( R ) tal que (/) x é diferente de 1/2 e diferente de 1. Show??

Passo 4

Agora, faremos g ∘ f .

Vamos colocar f dentro de g !! É só substituir o x de g pela função f ( x ) :

g ∘ f = 1 + x 1 - x 1 - 1 + x 1 - x

Vamos fazer o mmc embaixo:

g ∘ f = 1 + x 1 - x 1 - x - ( 1 + x ) 1 - x

g ∘ f = 1 + x 1 - x 1 - x - 1 - x 1 - x

g ∘ f = 1 + x 1 - x - 2 x 1 - x

Arrumando essa divisão:

g ∘ f = 1 + x 1 - x ∙ 1 - x - 2 x

Simplificando 1 - x :

g ∘ f = 1 + x 1 ∙ 1 - 2 x

g ∘ f = 1 + x - 2 x

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de f que tornam f um valor dentro do domínio de g .

O único valor que g não admite em seu domínio é x = 1 , certo? Então, temos que excluir os valores do domínio de f que o tornam 1 , ou seja:

f x ≠ 1

1 + x 1 - x ≠ 1

1 + x ≠ 1 - x

2 x ≠ 0

x ≠ 0

Então, x = 0 é um valor que torna f um valor que não pertence ao domínio de g . Além disso, x também não pode ser 1 , senão não pertencerá ao domínio de f !! Assim, o domínio da composição será qualquer valor diferente de 0 e 1 :

D o m í n i o = { x ∈ R   /   x ≠ 0   e   x ≠ 1 }  

Lê-se: x pertencente ( ) aos reais ( R ) tal que (/) x é diferente de 0 e diferente de 1.

Resposta

f ∘ g = 1 1 - 2 x ; x ≠ 1   e   x ≠ 1 / 2

g ∘ f = 1 + x - 2 x ; x ≠ 0   e   x ≠ 1

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