Enunciado

Determine uma função n ( x , y ) para que a seguinte equação diferencial seja exata:

y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + y   d x + N ( x , y ) d y = 0

Passo 1

Vamos encontrar um M ( x , y ) para que y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + y   d x + N ( x , y ) d y = 0

Seja uma equação exata

Na nossa equação, M x , y = y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + y

Mas lembra lá das resoluções de equação diferencial exata? Temos que

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + y

Se integrarmos em relação a x , podemos encontrar o nosso f :

f = ∫ y 1 2 . x - 1 2 + x x 2 + y     d x

f = 2 y 1 2 . x 1 2 + ln ⁡ | x 2 + y | 2 + g ( x )

Onde g ( x ) é uma constante de integração

Passo 2

Temos

f = 2 y 1 2 . x 1 2 + ln ⁡ | x 2 + y | 2 + g ( x )

Mas lembra que quando resolvemos uma equação diferencial exata, chamamos ∂ f ∂ y = N ( x , y ) ?

Então agora é só felicidade cara:

∂ f ∂ y = N ( x , y )

∂ f ∂ y = y - 1 2 x 1 2 + 1 2 . ( x 2 + y ) + g ' x = N ( x , y )

Então

N x , y = y - 1 2 x 1 2 + 1 2 . ( x 2 + y ) + g ' x

Logo, um N ( x , y ) para que a equação seja exata é

N x , y = y - 1 2 x 1 2 + 1 2 . ( x 2 + y )

Resposta

N x , y = y - 1 2 x 1 2 + 1 2 . ( x 2 + y )

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