Lista de Exercícios Resolvidos de Equação Exata

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Resolva a equação diferencial.

d y d x = - x + x y 2 y + x 2 y

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Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e a condição inicial dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

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Resolva a equação diferencial

( cos ⁡ x cos ⁡ y ) y ' + tg ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ y = 0

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Resolva a seguinte equação exata:

e y d x + x e y - 2 y d y = 0

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Resolva o problema de valor inicial abaixo, insto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

cos ⁡ y + y 2 - x sen ⁡ y y ' = 0

y 0 = 1

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Considere a equação diferencial

y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

  1. Determine todas as funções f x que tornam exata a equação diferencial
  2. Encontre a solução geral g x , y = c da equação diferencial usando a f x achada no item a .

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Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

y 1 = 1

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( i ) Determine todas as funções f : I ⊂ R → R que tornam exata a equação diferencial y 2 sen ⁡ x d x + y f x d y = 0

i i Considere a função f tal que f 0 = - 1 e encontre a solução geral da equação dada em ( i )

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Verifique que a equação é exata e resolva-a

2 x y - 3 y 2 x 4 d x + 2 y x 3 - x 2 y 2 + 1 y d y = 0

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Resolva a ED exata: 2 x y   d x   +   ( x 2   -   1 )   d y = 0

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Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

1 .     x - y d x + - x + y + 2 d y = 0

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Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

2 .     y ' = y - x + 1 - x + y + 3

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Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

3 .   x 2 + y 2 d x + x e x y + 1 d y = 0

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Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

4 .     3 x 2 y + e y - e x d x + x 3 + x e y d y = 0

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Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

5 .     y + c o s ⁡ ( x ) d x + x + s e n ( y ) d y = 0

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Nos exercícios de 1 a 6 identifique as equações diferenciais exatas e resolva-as.

6 .     1 + ln ⁡ x + y x d x = 1 - ln ⁡ x d y

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Nos exercícios 7 e 8 resolva o P V I .

7 .   e x + y d x + 2 + x + y e y d y = 0   ,       y 0 = 1

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Questão 1:

Considere as variáveis x e y relacionadas pela forma diferencial:

y e 2 x y + x d x + α x e 2 x y d y = 0

Encontre o valor de α para que o qual a equação acima seja exata.

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial

a) 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0 y 1 = 1

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Considere a equação diferencial

x 3 + cos ⁡ ln ⁡ x x y + sen ⁡ ln ⁡ x + 3 y 2 y ' = 0

  1. Encontre a solução geral da equação diferencial
  2. Resolva o problema de valor inicial dado com y 1 = 1

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Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

b) x 3 + y x + y 2 + ln ⁡ x y ' = 0 ,     x > 0

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Prove que a seguinte equação diferencial é exata e resolva-a:

2 x y 2 + 3 x 2 d x + 4 y 3 + 2 x 2 y d y = 0

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Classifique as equações diferenciais de 1ª ordem abaixo:

( - 6 x + 2 y + 12 ) d x + 2 x + 2 y + 4 d y = 0

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Classifique as equações diferenciais de 1ª ordem abaixo:

d y d x = - 4 x y 2 + 2 4 x 2 y

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Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

b)

d y d x = - 4 y 2 x + 2 4 x 2 y

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Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

( - 6 x + 2 y + 12 ) d x + 2 x + 2 y + 4 d y = 0

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Determine explicitamente, ou indique implicitamente, a solução do problema de

valor inicial para cada equação diferencial de 1ª ordem acima, com a condição inicial y x 0 = y 0 :

d y d x = - 4 x 2 y + 2 4 x 2 y

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Determine explicitamente, ou indique implicitamente, a solução do problema de

valor inicial para cada equação diferencial de 1ª ordem acima, com a condição inicial y x 0 = y 0 :

( - 6 x + 2 y + 12 ) d x + 2 x + 2 y + 4 d y = 0

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Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de b :

x 3 + 6 y x d x + y 2 + b ln ⁡ x d y = 0 ,     x > 0

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Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de b :

1 + 3 y e x y d x + 2 y + b x e x y d y = 0

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Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de b :

b x y 2 + 3 x 2 d x + 2 x 2 y + 4 y 3 d y = 0

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Como vimos em sala, a equação

- 6 x + 2 y + 12 d x + 2 x + 2 y + 4 d y = 0

é exata, cujo método de resolução leva a solução implícita 2 x y + y 2 + 4 y - 3 x 2 + 12 x = C . Obtenha a solução pelo método para equação com coeficientes lineares.

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Como vimos em sala, a equação

3 x - y - 6 d x + - x - y - 2 d y = 0

( a ) Obtenha a solução pelo método de equações exatas;

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Como vimos em sala, a equação

3 x - y - 6 d x + - x - y - 2 d y = 0

( b ) Obtenha a solução pelo método das equações com coeficientes lineares.

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Considere o seguinte P V I y = y ( x ) ,

e x   sen ⁡ y + tan ⁡ y + e x cos ⁡ y + x sec 2 ⁡ y d y d x = 0 ,     x > 0 y 0 = π 4

( a ) Verifique que a EDO associada ao P V I dado é exata.

( b ) Calcule a solução do P V I ,(use o fato que ∫ sec 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x + C ,     C constante). Depois, responda se a solução calculada é única ou não, justificando sua resposta.

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Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

cos ⁡ x sen ⁡ x - x y 2 d x + y 1 - x 2 d y = 0

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Encontre a solução geral da equação diferencial:

t y 2 - t 3 + t 2 y d y d t = 0

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

c )   y e x y + 4 y 3 + x e x y + 12 x y 2 - 2 y y ' = 0 ,     y 2 = 1

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Teste 5: Considere a equação

M x ,   y d x + N y ,   x d y = 0

Onde M ,   N são funções C 1 R 2 . Seja μ = μ x ,   y ∈ C 1 R 2 um fator integrante da equação e f = f x ,   y um potencial correspondente, ou seja: f é derivável e ∇ f = μ M ,   μ N . Qual das funções abaixo é outro fator integrante para a equação diferencial?

  1. e μ + f
  2. e f
  3. f e μ
  4. e μ f
  5. μ e f

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

b )   1 1 + y 2 + cos ⁡ x - 2 x y y ' = y y + sin ⁡ x ,     y 0 = 1

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Verifique se a equação diferencial ( 2 x - y +   1 )   d x   - ( x +   3 y -   2 )   d y   =   0 é exata

( ) δ M δ y = δ N δ x = - 1  

( ) δ M δ y = δ N δ x = 0

( ) δ M δ y = δ N δ x = 1  

( ) δ M δ x = δ N δ y = - 1  

( ) δ M δ y = δ N δ x = - 2  

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A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que

(I) A forma geral das equações diferenciais de 1ª ordem é F ( x , y , y ´ ) = 0 .

(II) São equações de 1ª ordem e 1° grau as equações da forma: d y / d x = F ( x , y ) .

(III) São equações de 1ª ordem e 1° grau as equações da forma M   d x +     N   d y = 0 onde M = M ( x , y ) e N = N ( x , y ) são contínuas no intervalo considerado.

( )   (I), (II) e (III)

( ) (III)

( ) (II)

( ) (I)

( ) (I) e (II)

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Determine se a ED dada é exata e, então, resolva:

2 x + 3 y d x   3 x + 2 y d y = 0

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Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas.

I- y d x + x d y = 0

II- x - 2 y d x + x + y d y = 0

III- 2 x 2 - y d x + x + y d y = 0

( ) Apenas a II

( ) Apenas a III

( ) Apenas a I

( ) I, II e III são exatas.

( ) I, II e III são não exatas.

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Uma equação diferencial M d x + N d y = 0 é chamada de exata se:

( ) d M / d y = d N / d x

( ) d M / d y = 1 / d x

( ) d M / d y = - d N / d x

( ) d M / y = d N / x

( ) 1 / d y = d N / d x

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A condição necessária e suficiente para que a equação M ( x , y ) d x   +   N ( x , y ) d y   =   0 seja diferencial exata é que, sendo M e N funções contínuas e deriváveis, se tenha d M d y = d N d x .

Resolva a equação exata x 3 + y 2 d x + 2 x y + cos ⁡ y d y = 0

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A solução da equação diferencial e x y - sen ⁡ x d x   +   sen ⁡ y   +   e x d y = 0   é

( ) sen ⁡ x + cos ⁡ y + e x

( ) cos ⁡ y - cos ⁡ x + y

( ) sen ⁡ y - cos ⁡ x + y e x

( ) sen ⁡ x - cos ⁡ x + e x

( ) cos ⁡ x - cos ⁡ y + y e x

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Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):

Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois a resolva usando este valor de b .

y e 2 x y + x d x + b x e 2 x y d y = 0

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Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

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Encontre uma solução para a seguinte equação exata:

3 x 2 y 3 + y 4 d x + 3 x 3 y 2 + y 4 + 4 x y 3 d y = 0

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Responda as questões abaixo JUSTIFICANDO.

a) Exiba uma equação exata que admita como soluções a família de curvas

y x = C 1 + x 2   ,   c ∈ R .

b) Ache a solução particular y x   quando y 1 = 2 .

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