Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

- y   d x + x + x y d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Bom, olhando pra nossa equação...

- y   d x + x + x y d y = 0

Vemos que a parte M ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição x = v y .

Passo 2

Vamos lá, se x = v y , temos d x = v   d y + y   d v . Vamos substituir isso na nossa equação então...

- y   v   d y + y   d v + v y + v y 2 d y = 0

- y v d y - y 2 d v + v y   d y + v y 2 d y = 0

- y 2 d v = - y v d y

y   d v = v   d y

d v v = d y y

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d v v = ∫ d y y

2 v = ln ⁡ | y | + C

E como x = v y → v = x y , temos:

2 x y - ln ⁡ y = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

2 x y - ln ⁡ y = C

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