Enunciado

Determine uma função z = f ( x , y ) tal que ∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ y e cujo gráfico contenha a imagem da curva γ t = t , t , t 2 , t ∈ R .

Passo 1

A questão pede para acharmos uma função z = f x , y tal que

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ y ,

e cujo gráfico contenha a imagem da curva γ t = t , t , t 2 .

O primeiro passo é achar quais tipos de função satisfazem a relação

∂ f ∂ x = 2 ∂ f ∂ y ⇒ ∂ f ∂ x - 2 ∂ f ∂ y = 0

A dica para resolver problemas assim é reescrever a equação como um produto escalar:

1 ,   - 2 ⋅ ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = 0

Ou ainda,

1 ,   - 2 ⋅ ∇ f = 0

Passo 2

Como o gradiente de f é perpendicular às curvas de nível para todo ( x , y ) no domínio de f e, neste caso, temos que o gradiente também é perpendicular ao vetor ( 1 , - 2 ) , temos que, em todos os pontos, o vetor ( 1 , - 2 ) é tangente às curvas de nível.

Desta forma, como o vetor tangente às curvas de nível é constante, essas curvas são retas cujo vetor diretor é ( 1 , - 2 ) .

Desta forma, temos que

f x , y = c ⇒ a x + b y = k

Como o vetor diretor é ( 1 , - 1 ) , o coeficiente angular dessas retas é

m = - 2 1 = - a b ⇒ b = a 2

Portanto,

a x + a 2 y = k ⇒ 2 x + y = 2 k a

Passo 3

Temos então que as curvas de nível de f são retas paralelas cujas equações são

2 x + y - 2 k a = 0

Assim, as soluções da equação diferencial parcial são funções de duas variáveis que assumem sempre o mesmo valor sobre as retas dadas pela equação acima, que é do tipo 2 x + y = c o n s t a n t e . Portanto, a função procurada é do tipo

z = f x , y = g 2 x + y ,

onde g é uma função derivável de uma variável.

Passo 4

Por fim, como queremos o caso em que o gráfico de f contenha a curva γ t = ( t , t , t 2 ) , vamos impor que

f t , t = t 2

Assim,

g 2 t + t = g 3 t = t 2

Um caso em que isso acontece é

g u = u 2 9 ⇒ g 3 t = 9 t 2 9 = t 2

Assim, uma resposta possível para a função procurada é

z = f x , y = 2 x + y 2 9

Resposta

f x , y = 2 x + y 2 9

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