Enunciado

Curva tangente a uma superfície Mostre que a curva

r ( t ) = t 3 4 - 2 i + 4 t - 3 j + c o s ⁡ ( t - 2 ) k

é tangente à superfície

  x 3 + y 3 + z 3 - x y z = 0

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Vamos continuar com os exercícios adicionais avançados? Esta questão é a última que trata de gradientes e tangentes.

Nosso objetivo é mostrar que a curva r ( t ) = t 3 4 - 2 i + 4 t - 3 j + ( c o s ⁡ ( t - 2 ) ) k é tangente à superficie x 3 + y 3 + z 3 - x y z = 0 no ponto ( 0 , - 1,1 ) .Vamos aos cálculos? Acompanhe com atenção!

Passo 2

Seja a equação da superficie f ( x , y , z ) = x 3 + y 3 + z 3 - x y z Temos então que o gradiente da função vale:

∇ f = 3 x 2 - y z i + 3 y 2 - x z j + 3 z 2 - x y k

Aplicando o ponto ( 0 , - 1,1 ) teremos:

∇ f ( 0 , - 1,1 ) = i + 3 j + 3 k

plano tangente é então:

x + 3 y + 3 z = 0

Para a curva r = t 3 4 - 2 i + 4 t - 3 j + ( c o s ⁡ ( t - 2 ) ) k temos que a derivada é:

r ' = 3 t 2 4 i - 4 t 2 j - ( s e n ⁡ ( t - 2 ) ) k

Quando x = 0 , y = - 1 , z = 1 temos:

t = 2

Aplicando o ponto na derivada da função r temos:

r ' ( 2 ) = 3 i - j

Como r ' ( 2 ) ⋅ ∇ f = 0 r é paralelo ao plano, e r ( 2 ) = - i + k está contido nesse plano.

Resposta

Resposta nos passos.

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9. Sejam f x , y = y - x 2eγ t = ( s e n t ,s e n 2 t ) . a) Verifique que a imagem de γ está contida na curva de nível y - x 2 = 0 . b) Desenhe a imagem de γ . c) Verifique que para todo t, γ ' t ⋅ ∇
Determine o gradiente da função f (x , y , z) = x^2 e^(y z^2) .
Considere a função f x , y , z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 e seja γ t = x t ,y t ,z t uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 , e tal que γ t 0 =
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.26. f p ,q ,r = a r c tan ⁡ p q r ,1 ,2 ,1
14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tang