Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. (b) use a parte (a) para calcular ∫ c F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F x , y , z = ( y 2 z + 2 x z 2 ) i ^ + 2 x y z j ^ + x y 2 + 2 x 2 z k ^

C : x = t , y = t + 1 , z = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 , o próximo passo é buscar verificar a cara de f

Passo 2

  1. Como o exercício sugere que o campo seja conservativo, vamos direto tentar calcular a função f .
  2. Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.

    Se ∇ f = F → isso implica que

    ∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

    Logo se para gerar F → tivemos que derivar f , vamos tomar o caminho inverso.

    Seja

    ∂ f d x = y 2 z + 2 x z 2 → f = ∫ y 2 z + 2 x z 2 d x = x y 2 z + x 2 z 2 + C ( y , z )

    Derivando essa função na direção y , temos

    ∂ x y 2 z + x 2 z 2 + C y , z d y = 2 x y z + C ' y , z = ∂ f d y = 2 x y z

    Isso implica que C ' y , z = 0 → C y , z = C ( z )

    Desta forma se derivarmos novamente nossa f na direção z , teremos

    ∂ x y 2 z + x 2 z 2 + C z d z = x y 2 + 2 x 2 z + C ' z = ∂ f d z = x y 2 + 2 x ^ 2 z

    Implicando que C ' z = 0 → C z = C , logo nossa f se resume a

    f =   x y 2 z + x 2 z 2 + C

    Passo 3

  3. Usando a parametrização sugerida no enunciado, temos que

∫ c F → ⋅ d r → = f x 2 y 2 , z 2 - f x 1 , y 1 , z 1

f x 2 , y 2 , z 2 representa f em t = 1 , enquanto f x 1 , y 1 , z 1 representa f em t = 0

Assim,

f γ → ( t ) = t t + 1 2 t 2 + t 2 t 4 + C

Logo

f t = 0 = C e f t = 1 = 4 + 1 + C

Com isso temos

∫ c F → ⋅ d r → = 5 + C

Tomando C   =   0

Temos como resultado 5

Resposta

  1. f =   x y 2 z + x 2 z 2 + C
  2. ∫ c F → ⋅ d r → = 5
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A figura abaixo mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma função f cujo gradiente é contínuo. Determine ∫ C ∇ f ⋅ d r → .
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = e x s e n y i → + e c o s y j →
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = y e x + s e n y i → + e x + x c o sy j →
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = x y cosh ⁡ x y + s e n hx y i → + x 2 cosh ⁡ x y j →
Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f F → x , y = x y cos ⁡ x y + s e nx y i → + x 2 c o sx y j →