Enunciado

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = x y cosh ⁡ x y + s e n h   x y i → + x 2 cosh ⁡ x y j →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ x y cosh ⁡ x y + s e n h   x y ∂ y = x 2 y s e n h x y + x c o s h x y + x c o s h x y = x 2 s e n h x y + 2 x c o s h ( x y )

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 cosh ⁡ x y ∂ x = x 2 s e n h x y + 2 x c o s h ( x y )

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ y e integrar em relação à y :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( x y cosh ⁡ x y + s e n h   x y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x s e n h ( x y ) + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x 2 c o s h ⁡ ( x y ) + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x 2 cosh ⁡ x y

E agora vamos igualar os dois lados!

x 2 cosh ⁡ x y = x 2 c o s h ⁡ ( x y ) + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x s e n h ( x y ) + C

Resposta

f = x s e n h ( x y ) + C

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Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 1o u4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 }