Enunciado

Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.

x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4   ,   y ≥ 0

x 2 + z 2 = 1

Passo 1

A projeção da curva da interseção no plano xz é o circulo

x 2 + z 2 = 1

Então podemos escrever

x = c o s t

z = s e n t

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Como essa curva também está sobre a superfície x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 . Temos

y = 4 - x 2 - 4 z 2 = 4 - cos 2 ⁡ t - 4 ( 1 - cos 2 ⁡ t ) = 3 | c o s t |

Assim as equações paramétricas são:

x = c o s t

y = 3 | c o s t |

z = s e n t

0 ≤ t ≤ 2 π

Resposta

A função vetorial pedida é:

r t = c o s t   i + 3 | c o s t |   j + s e n t   k         0 ≤ t ≤ 2 π

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