Enunciado

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = ln �� t           y = 2 2         z = t 2         ( 0,2 , 1 )

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

x = x t ,     y = y t ,     z = z ( t )

A reta tangente dessa equação paramétrica é:

r t = < x t , y t , z t > + t < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos saber a equação paramétrica da reta tangente da seguinte função vetorial:

x = l n ⁡ ( t ) ,     y = 2 t ,     z = t 2

No ponto:

( 0,2 , 1 )

Primeiro vamos descobrir para que tempo de t conseguimos o ponto 0,2 , 1 , ou seja, satisfz as equações em x , y e z :

x = l n ⁡ ( t ) = 0 y = 2 t = 2 z = t 2 = 1

t = 1 t = 1 t = ± 1

O único valor que satisfaz as 3 equações é t = 1 .

Passo 3

Vamos agora calcular a reta tangente à equação paramétrica no ponto t = 1

x ' t = 1 t y ' t = 1 t z ' t = 2 t

Para t = 0 :

r t = < 0,2 , 1 > + t < 1,1 , 2 >

r t = ( t , t + 2,2 t + 1 )

Resposta

r t = ( t , t + 2,2 t + 1 )

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