Enunciado

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = t 2 - 1         y = t 2 + 1         z = t + 1         ( - 1,1 , 1 )

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

x = x t ,     y = y t ,     z = z ( t )

A reta tangente dessa equação paramétrica é:

r t = < x t , y t , z t > + t < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos saber a equação paramétrica da reta tangente da seguinte função vetorial:

x = t 2 - 1 ,     y = t 2 + 1 ,     z = t + 1

No ponto:

( - 1,1 , 1 )

Primeiro vamos descobrir para que tempo de t conseguimos o ponto - 1,1 , 1 , ou seja, satisfz as equações em x , y e z

x = t 2 - 1 = - 1 y = t 2 + 1 = 1 z = t + 1 = 1

t = 0 t = 0 t = 0

O único tempo que satisfaz as 3 equações é t = 0 .

Passo 3

Vamos agora calcular a reta tangente à equação paramétrica no ponto t = 0

x ' t = 2 t y ' t = 2 t z ' t = 1

Para t = 0 , temos:

r t = < - 1,1 , 1 > + t < 0,0 , 1 >

r t = ( - 1,1 , t + 1 )

Resposta

r t = ( - 1,1 , t + 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Reparametrize a curva em relação ao comprimento do arco do ponto onde t = 0 na direção crescente de t . r → t = 3 s e nt i ^ + 4 t j ^ + 3 cos ⁡ t k ^
Trace a curva espacial e sua função curvatura κ t . Comente como a curvatura reflete a forma da curva. r t =t - s e nt ,1 - cos ⁡ t ,4 cos ⁡ t 2 ,0 ≤ t ≤ 8 π
Trace a curva espacial e sua função curvatura κ t . Comente como a curvatura reflete a forma da curva. r t =t e t , e - t , 2t ,- 5 ≤ t ≤ 5
Seja P 0 um ponto fixo no espaço e d ( P , P 0 ) a distância de um ponto qualquer P até P 0 . Se P 0 têm coordenadas cartesianas ( x 0 ,y 0 , z 0 ) e P = P ( x ,y ,z ) , descrever analiticamente este
Seja D um sólido esférico de raio r. A temperatura em cada um de seus pontos é proporcional à distância do ponto até a superfície da esfera.Determinar as superfícies isotermas do campo de temperatura