Enunciado

Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = t 5         y = t 4         z = t 3         ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Em uma equação paramétrica do tipo:

x = x t ,     y = y t ,     z = z ( t )

A reta tangente dessa equação paramétrica é:

r t = < x t , y t , z t > + t < x ' t , y ' t , z ' t >

Passo 2

Queremos saber a equação param��trica da reta tangente da seguinte função vetorial:

x = t 5 ,     y = t 4 ,     z = t 3

No ponto:

( 1,1 , 1 )

Primeiro vamos descobrir para que tempo de t conseguimos o ponto 1,1 , 1 , ou seja, satisfaz as equações em x , y e z

x = t 5 = 1 y = t 4 = 1 z = t 3 = 1

t = 1 t = ± 1 t = 1

O único tempo t que satisfaz as 3 equações ao mesmo tempo é t = 1 .

Passo 3

Vamos agora calcular o vetor diretor da reta tangente à equação paramétrica no ponto t = 1 . Para isso, primeiramente derivamos cada componente da função:

x ' t = 5 t 4 y ' t = 4 t 3 z ' t = 3 t 2

Sendo assim, quando t = 1 , o vetor diretor é dado por :

v → = x ' t   ;   y ' t   ; z ' t = (   5   ; 4   ; 3   )  

r t = ( 1   ;   1   ;   1 ) + t ( 5   ;   4   ;   3 )

r t = ( 5 t + 1   ; 4 t + 1   ; 3 t + 1 )

Resposta

r t = ( 5 t + 1 ; 4 t + 1 ; 3 t + 1 )

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