Enunciado

Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.

O sólido no primeiro octante sob o plano z = x + y , acima da superfície z = x y e delimitada pela superfície x = 0 , y = 0 e x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos resolver as equações parabólicas:

y 2 = 4 - x 2

y = ± 4 - x 2

Como está no primeiro octante y ≥ 0 , temos que:

y = 4 - x 2

Passo 2

Agora que achamos os limites, é só aplicar e resolver a integral. Temos que:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 2   , 0 ≤ y ≤ 4 - x 2  

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

V = ∬ D f x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 f ( x , y ) d y d x

Logo:

V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 x + y - x y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ 0 4 - x 2 x + y - x y d y = x y + y 2 2 + x y 2 2 0 4 - x 2

Agora, aplicando os limites de integração, temos:

∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y = x 4 - x 2 + 4 - x 2 2 2 + x 4 - x 2 2 2

∫ x 2 1 - x 2 3 - y d y = x 4 - x 2 + x 3 - x 2 - 4 x + 4 2

Logo, substituindo, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 x + y - x y d y d x = ∫ 0 2 x 4 - x 2 + x 3 - x 2 - 4 x + 4 2 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = ∫ 0 2 x 4 - x 2 d x = 8 3

∫ 0 2 x 3 - x 2 - 4 x + 4 2 d x = 2 3

Fazendo as contas, temos:

V = 10 3

Resposta

V = 10 3

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Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 3 .z = 1 - x 2 ,z = 0 ,x + y = 4 e y = 0
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 6 .z = x 2 + 1 ,z = 0 ,y = 0 ,x = 0 ,x = 4 e y = 5
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 10 .z = 0 ,x 2 + y 2 = 16 e z = 10 + x
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 1 1 .x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 4 = 0 ,z = 0 e z = 5 y
Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas. 2 .z = 4 x 2 ,z = 0 ,x = 0 ,x = 2 ,y = 0 e y = 4