Enunciado

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente de no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → .

f x , y = y 2 x ,                     P 1 ,   2 ,               u → = 1 3 2 ,   5

Passo 1

A questão pede para calcular o gradiente de f e sua derivada direcional num ponto P ( a ,   b ) na direção do vetor u → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Tomando o gradiente de f :

∇ f x ,   y = - y 2 x 2 , 2 y x

Assim, com a ,   b = ( 1 ,   2 ) :

∇ f 1 ,   2 = ( - 4 ,   4 )

Passo 2

Note que como u → já é normalizado, a derivada direcional será

D u f 1 ,   2 = - 4 ,   4 ⋅ 2 3 , 5 3

Portanto,

D u f 1 ,   2 = 4 5 - 8 3

Resposta

∇ f x ,   y = - y 2 x 2 , 2 y x

∇ f 1 ,   2 = ( - 4 ,   4 )

D u f 1 ,   2 = 4 5 - 8 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derivada na direção da velocidade Encontre a derivada de ƒ(x, y, z) = xyz na direção do vetor velocidade da hélice r t = cos ⁡ 3 t i + s e n3 t j + 3 t k Em t = π 3
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . h x ,y = tg - 1 ⁡ ( y / x ) + 3 sen - 1 ⁡ x y / 2 , P 0 1 ,1 ,u = 3 i - 2 j
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . f x ,y = 2 x 2 + y 2 , P 0 - 1 ,1 ,u = 3 i - 4 j
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . f x ,y = 2 x y - 3 y 2 , P 0 5 ,5 ,u = 4 i + 3 j
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u . g x ,y = x - y x y + 2 , P 0 1 ,- 1 ,u = 12 i + 5 j