Enunciado

a ) Determine o gradiente de f

b ) Calcule o gradiente no ponto P

c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

Passo 1

Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ f x , y , Z =   f x , f y , f z

Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

D u f =   ∇ f x , y , z . u

Passo 2

a)Primeiro achamos as derivadas parciais:

f x = 1 2 x + y z ; f y = z 2 x + y z ; f z = y 2 x + y z

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z =   1 2 x + y z , z 2 x + y z , y 2 x + y z

Passo 3

b)Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f 1,3 , 1 = 1 2 1 + 3 + , 1 2 1 + 3 , 3 2 1 + 3 =   1 4 , 1 4 , 3 4

Passo 4

c)Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1:

D u f 1,3 , 1 = 1 4 , 1 4 , 3 4 2 7 , 3 7 , 6 7 = 2 28 + 3 28 + 18 28 = 23 28

Resposta

a )   ∇ f x , y , z =   1 2 x + y z , z 2 x + y z , y 2 x + y z

b )   ∇ f 1,3 , 1 =   1 4 , 1 4 , 3 4

c ) 23 28

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