Enunciado

Se f x , y = x y , encontre o vetor gradiente ∇ f 3,2   e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível f x , y = 6 no ponto 3,2 . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente

Passo 1

Bora lá galera. Pra começo de conversa, vamos pensar no vetor gradiente. Pela definição:

∇ f x , y = f x x , y   ,   f y x , y

Onde f x x , y e   f y x , y são, respectivamente, as derivadas parciais em relação a x e y de f x , y . Belê! Nosso enunciado nos deu:

f x , y = x y

Então as derivadas parciais serão:

f x x , y = ∂ f x , y ∂ x = ∂ x y ∂ x = y

f y x , y = ∂ f x , y ∂ y = ∂ x y ∂ y = x

Portanto nosso vetor gradiente é:

∇ f x , y = y   ,   x

E vetor gradiente que o enunciado pediu será:

∇ f 3,2 = 2,3

Passo 2

Show de bola galera, agora vamos pontar a reta tangente. Pra isso, vamos lembrar da modelagem dela:

r t = P o + v → ∙ t

Pô, o ponto P o nada mais é do que o ponto de tangência, dado do enunciado, e v → é o vetor diretor dessa reta, que vamos descobrir. Seja:

v → = a , b

Como ∇ f 3,2 representa o vetor diretor da reta normal a curva de nível no ponto 3,2 , e retas normais e tangentes são perpendiculares, podemos lembrar da propriedade do produto escalar de vetores perpendiculares:

∇ f 3,2 ∙ v → = 0

E logo:

2,3 ∙ a , b = 0

2 a + 3 b = 0

2 a = - 3 b

a = - 3 2 b

O vetor diretor tem então essa expressão:

v → = - 3 2 b , b

Arbitrando um valor qualquer de b , como por exemplo, b = 1 , achamos:

v → = - 3 2 , 1

E taí galera! Sendo o ponto de tangência P o = 3,2 , nossa reta tangente será:

r t = 3,2 + - 3 2 , 1 ∙ t

r t = - 3 2 t + 3 , t + 2

Passo 3

Agora a gente esboça tudo! Pra começar, se a curva de nível ocorre em:

f x , y = x y = 6

Basta a gente esboçar no I R 2 a curva:

y = 6 x

Marcar o ponto P o = 3,2 . Fazer a reta tangente:

x = - 3 2 t + 3 → t = 2 3 - x 3

y = t + 2 → y = 2 3 - x 3 + 2

E marcar o vetor normal a curva de nível no ponto P o = 3,2 , que nada mais é do que um vetor com as direções do gradiente, isto é, 2,3 . Juntando isso tudo no gráfico, temos:

Resposta

r t = - 3 2 t + 3 , t + 2

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