Enunciado

Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.

S = u , v | 0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ 2 ;

x = 2 u + 3 v ,         y = u - v

Passo 1

A transformação mapeia o limite de S para o limite da imagem R .

Então primeiro vamos olhar para o lado S 1 no plano u v . S 1 é descrito por v = 0   0 ≤ u ≤ 3 , e das equações dadas temos:

x = 2 u + 3 v = 2 u

y = u - v = u

Substituindo u = y na primeira ficamos com:

x = 2 u = 2 y ,           0 ≤ x ≤ 6

Passo 2

S 2 é o segmento de reta u = 3   0 ≤ v ≤ 2 , então:

x = 2.3 + 3 v = 6 + 3 v

y = 3 - v

Então isolando v e substituindo na primeira:

x = 6 + 3 v = 6 + 3 3 - y = 15 - 3 y               6 ≤ x ≤ 12

Passo 3

S 3 é o segmento de reta v = 2 ,   0 ≤ u ≤ 3 , então:

x = 2 u + 3.2 = 2 u + 6

y = u - 2

Isolando u e substituindo na primeira vamos ficar com:

x = 2 y + 2 + 6 = 2 y + 10             6 ≤ x ≤ 12

Passo 4

E por ultimo, S 4 é o segmento u = 0 ,   0 ≤ v ≤ 2 , então ficamos com:

x = 2.0 + 3 v = 3 v

y = 0 - v = - v

E substituindo em x :

x = 3 v = - 3 y             0 ≤ x ≤ 6

Passo 5

Agora podemos montar a imagem do conjunto S , que é a região R mostrada no plano x y , um paralelogramo delimitado por esses quatro segmentos.

Resposta

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Seja f uma função contínua em 0 ,1 e seja R a região triangular com vértices 0 ,0 , 1 ,0 e 0 ,1 . Mostre que ∫ ∫ R f ( x + y ) d A = ∫ 0 1 u f ud u
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. ∫ ∫ R e x + yd A , onde R é dada pela inequação x + y ≤ 1
Determine o jacobiano da transformação. x = u v , y = v w ,z = u w
Utilize a transformação dada para calcular a integral. ∬ R 4 x + 8 y d A , onde R é o paralelogramo com vértices - 1,3 , 1 , - 3 , 3 , - 1 e 1,5 ; x = 1 4 u + v , y = 1 4 v - 3 u
Determine o jacobiano da transformação. x = u v , y = u v