Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 19
Utilize a transformação dada para calcular a integral.
, onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas e e pelas hipérboles , ; ,
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar:
Primeiro vamos achar o jacobiano, que é da seguinte forma:
Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.
Passo 2
Temos que é a derivada de em função de :
E é a derivada de em função de :
Temos que é a derivada de em função de :
E por ultimo é a derivada de em função de :
Passo 3
Pronto, agora é só substituir e calcular:
Passo 4
Com a transformação de e e usando as retas e as hipérboles vamos ter:
Agora temos e no plano .
Passo 5
Agora vamo substituir na integral:
Resposta
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Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .
Calcule ∫ ∫ D xd x d y , onde D é a região do plano x y limitada pelas parabolas x = y 2 - 1 , x = 1 - y 2 e x = 4 - y 2 4 .
Considere a aplicação definida por x = u v e y = v - u Calcule a a área de D .
Calcule ∫ ∫ D 2 x + 1d x d y , onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .
Considere a aplicação definida por x = u v e y = v - u Determine a imagem D no plano x y do retângulo R no plano u v de vértices 0,1 , 1,1 , 1,2 e 0,2 .