Determine o jacobiano da transformação.

x = uv, y = vw, z = uw

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que ∂ x ∂ u é a derivada de x em função de u :

∂ x ∂ u = ∂ ∂ u u v = v

Temos que ∂ x ∂ v é a derivada de x em função de v :

∂ x ∂ v = ∂ ∂ v u v = u

E ∂ x ∂ w é a derivada de x em função de w :

∂ x ∂ w = ∂ ∂ w u v = 0

Temos que ∂ y ∂ u é a derivada de y em função de u :

∂ y ∂ u = ∂ ∂ u v w = 0

Temos que ∂ y ∂ v é a derivada de y em função de v :

∂ y ∂ v = ∂ ∂ v v w = w

E por ultimo ∂ y ∂ w é a derivada de y em função de w :

∂ y ∂ w = ∂ ∂ w v w = v

Temos que ∂ z ∂ u é a derivada de z em função de u :

∂ z ∂ u = ∂ ∂ u u w = w

Temos que ∂ z ∂ v é a derivada de z em função de v :

∂ z ∂ v = ∂ ∂ v u w = 0

E por ultimo ∂ z ∂ w é a derivada de z em função de w :

∂ z ∂ w = ∂ ∂ w u w = u

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

∂ x , y , z ∂ u , v , w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = v u 0 0 w v w 0 u = u v w + u v w + 0 - 0 - 0 - 0 = 2 u v w

Resposta

∂ x , y , z ∂ u , v , w = v u 0 0 w v w 0 u = 2 u v w

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