Enunciado

Determine o jacobiano da transformação.

x = u v , y = v w , z = u w

Passo 1

Vamos lá, temos que o jacobiano é da seguinte forma:

(del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]|

Vamos então calcular cada elemento e fazer a substituição.

Passo 2

Temos que (del x)/(del u) é a derivada de x em função de u :

(del x)/(del u) = (del)/(del u) (u v) = v

Temos que (del x)/(del v) é a derivada de x em função de v :

(del x)/(del v) = (del)/(del v) (u v) = u

E (del x)/(del w) é a derivada de x em função de w :

(del x)/(del w) = (del)/(del w) (u v) = 0

Temos que (del y)/(del u) é a derivada de y em função de u :

(del y)/(del u) = (del)/(del u) (v w) = 0

Temos que (del y)/(del v) é a derivada de y em função de v :

(del y)/(del v) = (del)/(del v) (v w) = w

E por ultimo (del y)/(del w) é a derivada de y em função de w :

(del y)/(del w) = (del)/(del w) (v w) = v

Temos que (del z)/(del u) é a derivada de z em função de u :

(del z)/(del u) = (del)/(del u) (u w) = w

Temos que (del z)/(del v) é a derivada de z em função de v :

(del z)/(del v) = (del)/(del v) (u w) = 0

E por ultimo (del z)/(del w) é a derivada de z em função de w :

(del z)/(del w) = (del)/(del w) (u w) = u

Passo 3

Pronto, agora é só substituir e calcular:

(del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v),(del x)/(del w)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v),(del y)/(del w)],[(del z)/(del u),(del z)/(del v),(del z)/(del w)]]| = |[[v,u,0],[0,w,v],[w,0,u]]| = u v w + u v w + 0 - 0 - 0 - 0 = 2 u v w

Resposta

(del (x , y , z))/(del (u , v , w)) = |[[v,u,0],[0,w,v],[w,0,u]]| = 2 u v w

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Exercício de Livro
Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares nos abertos Ω e Ω 1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H : Ω 1 → Ω , com H Ω 1 = Ω , dada por H : u = u s
Sejam σ : Ω ⊂ R 2 → R 3 e φ : Ω 1 ⊂ R 2 → R 3 duas superfícies regulares, sendo φ obtida de σ pela mudança de parâmentros u , v = H s , t = u s , t , v s , t (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Ω e K
Considere a aplicação g definida pelas equações x = u + v e y = v - u 2 Descreva e esboce a região D .
Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .