Enunciado

Suponha que determina negócio produza um fuxo contínuo de renda e que em t anos a partir de agora a renda seja dada por 1000 t - 300 . Qual o valor atual de todo o rendimento futuro se 8 % ao ano for a taxa de juros compostos continuamente?

Passo 1

Vamos começar achando o valor atual de renda de acordo com o pagamento de rendimentos do governo britânico que ele falou

Bem, para acharmos o valor atual da renda, devemos fazer a seguinte integral:

V = ∫ 0 + ∞ f t e - i t d t

Onde f t é a função de rendimento.

A função rendimento vai ser:

f t = 1000 t - 300

E

i = 8 % = 0,08

Então, o que temos que calcualr e:

V = ∫ 0 + ∞ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 0 + ∞ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t

Passo 2

Vamos comerçar resolvendo a integral:

∫ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t

Vamos usar integração por partes. Onde fazemos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembrando do LIATE para escolher o u , temos uma função algébrica ali, então

u = 1000 t - 300 → d u = 1000 d t  

E

d v = e - 0,08 t → v = - 1 0,08 e - 0,08 t = - 12,5 e - 0,08 t

Assim, nossa integral fica:

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = 1000 t - 300 - 12,5 e - 0,08 t - ∫ - 12,5 e - 0,08 t 1000 d t

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = - 12500 t - 3 75 0 e - 0,08 t + 12500 ∫ e - 0,08 t d t

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = - 12500 t - 3750 e - 0,08 t + 12500 - 1 0,08 e - 0,08 t + C

∫ 1000 t - 300 t e - i t   d t = - 12500 t - 3750 e - 0,08 t - 156250 e - 0,08 t + C

Passo 3

O nosso limite vai fiacr:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 t - 3750 e - 0,08 t - 156250 e - 0,08 t 0 b

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b - 156250 e - 0,08 b - - 12500 0 - 3750 e - 0,08 0 - 156250 e - 0,08 0

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b - 156250 e - 0,08 b - 3750 - 156250

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b - 156250 e - 0,08 b - 3750 - 156250

= lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b + 0 + 152500

Aquele limite que sobrou da indeterminação, vamos usar L’Hospital

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e - 0,08 b = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e 0,08 b = - ∞ ∞

lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 e 0,08 b = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 b - 3750 ' e 0,08 b ' = lim b → + ∞ ⁡ - 12500 0,08 e 0,08 b = 0

Logo, a nossa integral fica

∫ 0 + ∞ 1000 t - 300 ∙ e - 0,08 t d t = 152500

Resposta

152500

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