Enunciado

  1. Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescente
  2. Identifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem

g x = x 2 5 - x

Passo 1

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de g para encontrar os pontos críticos

g ' x = 2 x 5 - x -   x 2 2 5 - x

g ' x =   - 5 x 2 + 20 x 2 ( 5 - x )

Igualamos a zero

- 5 x 2 + 20 x 2 ( 5 - x ) = 0

- 5 x 2 + 20 x = 0

5 x 4 - x = 0

x = 0 ,   x = 4

No denominador, a função não está definida quando o denominador é igual a zero. Mas o denominador igualado a zero também é um ponto crítico:

2 ( 5 - x ) = 0

5 - x 2 = 0

5 - x = 0

x = 5

Pontos críticos: 0,4 ,   5

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

g   é crescente nos intervalos ( 0,4 )

g é decrescente nos intervalos - ∞ , 0 ⋃   ( 4,5 )

Passo 3

Assim, temos que os valores de mínimo locais são: de g 0 = 0 e g 5 = 0 nos pontos x = 0 e x = 5 . O valor máximo local é em g 4 = 16 , no ponto x = 4 .

O mínimo absoluto no ponto 0 quando x = 0   o u   x = 5

Resposta

  1. g   é crescente nos intervalos ( 0,4 ) ; g é decrescente nos intervalos - ∞ , 0 ⋃   ( 4,5 )
  2. mínimo locais são: de g 0 = 0 e g 5 = 0 nos pontos x = 0 e x = 5 .

máximo local é em g 4 = 16 , no ponto x = 4 .

mínimo absoluto no ponto 0 quando x = 0   o u   x = 5

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