Enunciado

Responda às perguntas seguintes sobre as funções cujas derivadas são dadas:

  1. Quais são os pontos críticos
  2. Em quais intervalos f é crescente ou decrescente?
  3. Em quais pontos, se houver f assume máximos e mínimos locais?

f ' x = ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) ( sin ⁡ x - cos ⁡ x ) 0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Para encontrar os pontos críticos façamos o seguinte:

( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) ( sin ⁡ x - cos ⁡ x ) = 0

Para sin ⁡ x + cos ⁡ x temos:

sin ⁡ x + cos ⁡ x = 0

sin ⁡ x =   - cos ⁡ x

sin ⁡ x cos ⁡ x =   - cos ⁡ x cos ⁡ x

tan ⁡ x =   - 1

x =   3 π 4   e   x = 7 π 4

Para sin ⁡ x - cos ⁡ x temos:

sin ⁡ x - cos ⁡ x = 0

sin ⁡ x = cos ⁡ x

sin ⁡ x cos ⁡ x =   cos ⁡ x cos ⁡ x  

tan ⁡ x = 1

x =   π 4   e   x = 5 π 4

Pontos críticos: 3 π 4 , 7 π 4 , π 4 ,   5 π 4

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

f   é crescente no intervalo π 4 , 3 π 4   ⋃ ( 5 π 4 , 7 π 4 )

f   é decrescente no intervalo 0 ,   π 4 ⋃ 3 π 4 ,   5 π 4 ⋃ ( 7 π 4 , 2π)

Passo 3

No teste da primeira derivada para os extremos locais vale o seguinte:

Seja c um ponto crítico de uma função contínua f e essa função é derivável em qualquer ponto do intervalo que contenha c então:

  1. Se f ' passa de negativa a positiva em c, então f   possui mínimo local em c ;
  2. Se f ' passa de positiva a negativa em c, então f   possui máximo local em c ;
  3. Se f ' não muda de sinal em c, então f não tem extremo local em c

Assim, podemos afirmar que f assume máximo local quando x = 0 , x =   3 π 4   e   x =   7 π 4 e mínimo local quando x =   π 4 , x = 5 π 4 e x = 2 π

Resposta

Pontos críticos: 3 π 4 , 7 π 4 , π 4 ,   5 π 4

f   é crescente no intervalo π 4 , 3 π 4   ⋃ ( 5 π 4 , 7 π 4 )

f   é decrescente no intervalo 0 ,   π 4 ⋃ 3 π 4 ,   5 π 4 ⋃ ( 7 π 4 , 2π)

f assume máximo local quando x = 0 , x =   3 π 4   e   x =   7 π 4 e mínimo local quando x =   π 4 , x = 5 π 4 e x = 2 π

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