Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ e x ln ⁡ x

Passo 1

Vamos lá, aplicando o limite aqui ficamos com a indeterminação ∞ ∞ , assim podemos aplicar L’Hospital, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e da logarítmica natural:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

Aplicando:

e x ' = e x

ln ⁡ x ' = 1 x

Substituindo no limite:

lim x → + ∞ ⁡ e x ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ e x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x e x

Passo 2

Vamos agora usar a propriedade da multiplicação dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ x e x = lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ lim x → + ∞ ⁡ e x

Então vamos calcular os dois limites separadamente:

lim x → + ∞ ⁡ x = ∞

lim x → + ∞ ⁡ e x = ∞

Agora é só substituir no limite original e pronto:

lim x → + ∞ ⁡ x e x = lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ lim x → + ∞ ⁡ e x = ∞ ⋅ ∞ = ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e x ln ⁡ x = ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados