Enunciado

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).

x = t 1 + t 2

Passo 1

Primeiro vamos ter que achar x ' e analisar seu sinal, vamos então ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão:

t n ' = n t n - 1

c ' = 0

f t g t ' = f ' t g t - f t g ' t g t 2

Vamos então aplicar:

x ' = t 1 + t 2 ' = f ' t g t - f t g ' t g t 2 = t ' 1 + t 2 - t 1 + t 2 ' 1 + t 2 2 = t 1 - 1 1 + t 2 - t 0 + 2 t 2 - 1 1 + t 2 2 = t 0 1 + t 2 - t 2 t 1 + t 2 2 = 1 1 + t 2 - 2 t 2 1 + t 2 2 = 1 + t 2 - 2 t 2 1 + t 2 2 = 1 - t 2 1 + t 2 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de x ' , o denominador vai ser sempre positivo, vamos então analisar o numerador igualando-o a zero:

1 - t 2 = 0 → t = ± 1

Assim:

1 - t 2 = - t - 1 t + 1

Vamos analisar o sinal das duas expressões:

Para - t - 1 temos:

A expressão assume valores negativos quando t < 1 e assume valores positivos quando t > 1 .

Para t + 1 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando t < - 1 e assume valores positivos quando t > - 1 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que x ' > 0 em:

- 1,1

E em x ' < 0 :

- ∞ , - 1 e 1 , + ∞

Assim:

f é estritamente crescente em - 1,1

f é estritamente decrescente em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim t → + ∞ ⁡ t 1 + t 2 = 0

lim t → - ∞ ⁡ t 1 + t 2 = 0

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

f é estritamente crescente em - 1,1

f é estritamente decrescente em - ∞ , - 1 e 1 , + ∞

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