Enunciado

Seja f x = 1 5 x 5 - 5 3 x 3 + 4 x + 1 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 1 5 . 5 . x 4 - 5 3 . 3 . x 2 + 4.1 . x 0 + 0 ⇒

f ' x = x 4 - 5 x 2 + 4

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

x 4 - 5 x 2 + 4 = 0

Agora, tomando x 2 como outra variável, t por exemplo, teremos t = x 2 e assim:

t 2 - 5 t + 4 = 0 ⇒

∆ = - 5 2 - 4 . 1 . 4 ⇒

∆ = 25 - 16 = 9 ⇒

t = - ( - 5 ) ± 9 2 . ( 1 ) ⇒

t = 5 + 3 2 = 8 2 o u 5 - 3 2 = 2 2 ⇒

Logo:

t = 4 ou t = 1

Agora devemos lembrar que t = x 2 , isto é, x = ± t e que estamos procurando os valores de x , portanto:

x = ± 4 ou x = ± 1

x = ± 2 ou x = ± 1

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = - 2 , quando x = - 1 , quando x = 1 e quando x = 2 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 2 , em x = - 1 , em x = 1 e em x = 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 2 < x < - 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ - 1 < x < 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 1 < x < 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = - 2 e em x = 1 temos pontos de máximo relativo e em x = - 1 e em x = 2 temos pontos de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 1 5 x 5 - 5 3 x 3 + 4 x + 1 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 1 5 x 5 - 5 3 x 3 + 4 x + 1 é decrescente nos intervalos ( - 2 ,   - 1 ) e ( 1,2 ) , crescente nos intervalos - ∞ , - 2 , ( - 1,1 ) e ( 2 ,   + ∞ ) , admite mínimo relativo em x = - 1 e em x = 2 e máximo relativo em x = - 2 e em x = 1 .

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