Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = x 2 - 36 x + 32

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pede para determinar uma janela retangular apropriada para a função dada e usá-la para fazer o gráfico da função:

f x = x 2 - 36 x + 32

Mas que janela é essa??

Então... quando a gente olha um gráfico, a gente quer tirar todas as informações que estão contidas nele. E, para isso, o gráfico não pode estar nem grande demais para o plano cartesiano e nem pequeno demais.

O tamanho ideal é aquele que contém o máximo de informações possíveis que podemos extrair do gráfico. Para isso, precisamos calcular pontos chaves que nos dirão o tamanho correto da janela.

Como nesse caso, f ( x ) é uma parábola de concavidade para cima (porque o coeficiente de x 2 é positivo), uma janela retangular apropriada precisaria incluir seu ponto de mínimo e suas raízes.

Esse ponto de mínimo vai estar localizado no vértice dessa par��bola e para calculá-lo nós podemos usar a fórmula do vértice:

x v = - b 2 a

para encontrar a coordenada x desse ponto e depois substituir esse valor em f ( x ) para obter a coordenada y . Lembrando que a forma geral de uma parábola é:

f ( x ) = a x 2 + b x + c

Então, no nosso caso, a = 1 , b = - 36 e c = 32 .

E para encontrar as raízes dessa equação, vamos usar a fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 ∙ a ∙ c 2 ∙ a

Vamos lá!

Passo 2

Vamos escolher nossa janela analisando o ponto de mínimo, então vamos começar calculando o vértice da parábola f x = x 2 - 36 x + 32 usando a fórmula que vimos no passo anterior:

x v = - ( - 36 ) 2 ∙ ( 1 )

x v = 36 2 = 18

Então, a coordenada x do ponto mínimo é 18 . Nós precisamos agora da coordenada y , então vamos substituir esse valor na função:

f 18 = 18 2 - 36 ∙ 18 + 32

f 18 = - 292

Portanto, nosso ponto de mínimo é:

18 , - 292

Passo 3

Agora vamos calcular as raízes da equação usando a fórmula de Bháskara:

x = - ( - 36 ) ± ( 36 ) 2 - 4 ∙ ( 1 ) ∙ ( 32 ) 2 ∙ ( 1 )

x = 36 ± 1168 2

Fatorando a raiz e simplificando, obtemos:

x = 18 ± 2 73

Então, nossas raízes são:

x 1 = 18 + 2 73 = 35,08

E

x 2 = 18 - 2 73 = 0,911

Passo 4

Como precisamos de uma janela que nos dê uma visão mais completa, vamos usar para x um valor de - 10 a 40 . E para y o intervalo de - 300 a 100 .

Agora com o gráfico, temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 10,40 × - 300 , 100  

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