Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função

y = 3 cos ⁡ x 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Para determinar qual é o intervalo em que veremos essa função, vamos verificar se conseguimos saber sobre sua paridade. Com isso já poderemos analisar o tamanho da base do nosso retângulo: se só no lado positivo, se olhamos nos dois, enfim...

E depois? Depois vamos analisar sua amplitude! Como temos uma função periódica como argumento de uma exponencial, o valor do cosseno vai variando dentro de uma janela, então ver os principais pontos ( 0,1 , - 1 ) e o que isso representa na função é uma boa ideia também!

E depois? Depois é só plotar o gráfico! Lembrando das principais características das funções básicas.

Beleza? Mas calma, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Nossa função

y = 3 cos ⁡ x 2

Dizemos que ela é ímpar se

f - x = - f ( x )

E par se

f - x = f ( x )

E não tem paridade definida quando não for nenhuma dessas coisas! Fazendo x → - x na função

y - x = 3 cos ⁡ - x 2 = 3 cos ⁡ x 2 = y

Podemos verificar por inspeção que a nossa função atende a seguinte condição f x = f ( - x ) .

Então, nossa função é par e será simétrica em relação ao eixo y e nunca vai atingir um valor negativo

Sendo assim podemos pegar a seguinte janela - 5,5 para o x , sendo um intervalo simétrico ao eixo dos y .

Passo 3

Agora vamos verificar a amplitude! Como no argumento da função temos um cosseno, e sabemos que ele é limitado, vamos ver quais os valores máximos e mínimos dele, e com o zero:

y 0 = 3 cos ⁡ 0 = 3 1 = 3

Vemos que a função atinge seu máximo em 3 e mínimo

y π = 3 cos ⁡ π 2 = 3 cos ⁡ π = 3 - 1 = 1 3

De qualquer forma temos um valor positivo para a imagem. E o gráfico fica limitado a esses dois valores! E quando o argumento da função é zero, temos que

y = 3 0 = 1

Assim verticalmente fica entre 1 3 ,   3 , mas podemos ampliar um pouco para observarmos melhor p gráfico e fazer   0,4 .

Temos uma função exponencial, mas sua imagem fica limitada porque temos uma função limitada no seu argumento

Sendo assim temos o esboço

Resposta

- 5,5   p o r   0,4

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