Determine

lim x → ∞ ⁡ 1 x   ∫ 1 x d t t

Passo 1

Precisamos calcular um limite no infinito de uma função que envolve uma integral. Calma, não se assuste. Vamos começar por determinar que é f ( x ) tal que:

f x = ∫ 1 x d t t

Só depois iremos resolver o limite utilizando as técnicas estudadas em capítulos anteriores.

Passo 2

Vamos começar por descobrir que é f ( x ) . Para isto, vamos resolver a integral indefinida associada a função. Isto é:

∫ d t t

Resolvendo esta integral, temos:

∫ d t t = t - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + k

∫ d t t = 2 t + k

Passo 3

Agora que resolvemos a integral indefinida, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo para substituir os limites de integração na primitiva da função. Desta forma, temos:

f x = 2 x + k - ( 2 1 + k )

f x = 2 x - 2

Passo 4

Após descobrirmos que é f ( x ) , vamos substituir no limite.

lim x → ∞ ⁡ 1 x   ∫ 1 x d t t = lim x → ∞ ⁡ 1 x   ⋅ 2 x - 1

lim x → ∞ ⁡ 2 ⋅ 1 - 1 x = 2 ⋅ 1 - 0 = 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 1 x   ∫ 1 x d t t = 2

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