Enunciado

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x

y = 9 - x 2

y = 0

Passo 1

A curva que ele deu é:

y = 9 - x 2

Elevando ao quadrado para retirar a raiz:

y 2 = 9 - x 2

y 2 + x 2 = 9

Assim, essa curva é a circunferência de raio 3 centrada na origem, mas vamos pegar apenas a parte acima do eixo x porque a função é a raiz positiva.

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de x = - 3 até x = 3 . Onde o raio do disco vai ser a função verde:

r x = 9 - x 2

O volume vai ser:

V = ∫ - 3 3 π 9 - x 2 2 d x

Como a expressão da circunferência é a parte positiva, vamos ter:

9 - x 2 2 = 9 - x 2

V = ∫ - 3 3 π 9 - x 2 d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ - 3 3 π 9 - x 2 d x

V = π ∫ - 3 3 9 - x 2 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 9 - x 2 d x = 9 x - x 3 3 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ - 3 3 9 - x 2 d x = π 9 x - x 3 3 - 3 3 =

π 9 3 - 3 3 3 - π 9 - 3 - - 3 3 3 =

π 27 - 9 - π - 27 + 9

18 π + 18 π

36 π

Resposta

36 π

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