Determine o limite de cada função a) lim (x^2 - 3x + 2) / (x^3 - 4x) quando x → 2^(+)

Passo 1

Temos calcular o limite da função quando x se aproxima de 2 pela direita, ou seja, x > 2 .

Perceba que se aplicarmos o limite

l i m x → 2 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x = 0 0

Ou seja, uma indeterminação. Quando isso acontece, temos que nos virar para ajeitar a função de modo que a indeterminação não aconteça mais.

Passo 2

Perceba que, usando Bháskara em x 2 - 3 x + 2 , teremos que   x = 2   e   x = 1 são raízes, então reescreveremos x 2 - 3 x + 2 =   x - 2 x - 1 .

E, colocando x em evidência no denominador, ou seja x ( x 2 - 4 ) , temos que x 3 - 4 x =   x x 2 - 4 . Usando Bháskara em x 2 - 4 , temos que x 3 - 4 x =   x x - 2 x + 2 .

Substituindo as igualdades lá no limite,

l i m x → 2 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x =   l i m x → 2 + x - 2 x - 1 x ( x + 2 ) x - 2

Passo 3

Cancelando o fator em comum no numerador com o denominador, nosso limite fica

l i m x → 2 + x - 2 x - 1 x ( x + 2 ) x - 2 =   l i m x → 2 + ( x - 1 ) x ( x + 2 ) = 1 2 ⋅ 4 = 1 8

Resposta

l i m x → 2 + x 2 - 3 x + 2 x 3 - 4 x =   1 8

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