Enunciado

Dada

f x = 2 x - a s e x < - 3 a x + 2 b s e - 3 ≤ x ≤ 3 b - 5 x s e 3 < x

Ache os valores de a e b , tais queexistam os limites: lim x → - 3 ⁡ f x e lim x → 3 ⁡ f x

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza?

Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de - 3 . E também de 3 .

Que se resume a:

lim x → - 3 + ⁡ f x

lim x → - 3 - ⁡ f x

E

lim x → 3 + ⁡ f x

lim x → 3 - ⁡ f x

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o - 3 .

Primeiro o limite pela direita:

lim x → - 3 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de - 3 . Mas cuidado, tem duas expressões maiores que - 3 . A que vamos escolher é aquela logo depois do - 3 .

Aqui vai ser a x + 2 b .

Logo, vamos ter

lim x → - 3 + ⁡ a x + 2 b = a - 3 + 2 b = - 3 a + b

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → - 2 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de - 3 .

Aqui vai ser 2 x - a .

Logo, vamos ter

lim x → - 3 - ⁡ 2 x - a = 2 - 3 - a = - 6 - a

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

- 3 a + 2 b ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = - 6 - a ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

- 3 a + 2 b = - 6 - a

Opa, lascou. Isso não é o suficiente, temos duas letras ali.

Calma, isso aconteceu porque precisamos olhar o outro limite que ele pediu, o em 3

Passo 5

Agora o limite em 3

Primeiro o limite pela direita:

lim x → 3 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 3 .

Aqui vai ser b - 5 x .

Logo, vamos ter

lim x → 2 + ⁡ b - 5 x = b - 5 2 = b - 10

Passo 6

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 3 . Mas cuidado, tem duas expressões menores que 3 . A que vamos escolher é aquela logo antes do 3 .

Aqui vai ser a x + 2 b .

Logo, vamos ter

lim x → 3 - ⁡ a x + 2 b = a 3 + 2 b = 3 a + 2 b

Passo 7

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

b - 10 ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = 3 a + 2 b ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

b - 10 = 3 a + 2 b

Repare que no fundo achamos duas equações, que é um sistema de equação

Passo 8

Vamso resolver o sistema

- 3 a + 2 b = - 6 - a b - 10 = 3 a + 2 b  

Para resolver esse sistema, vamos primeiro deixar todas as letras de um lado e os números do outros

- 3 a + 2 b + a = - 6 3 a + 2 b = b - 10  

- 2 a + 2 b = - 6 3 a + 2 b - b = b - 10  

- 2 a + 2 b = - 6 3 a + b = - 10  

Agora, vamos isolar o b na segunda equação e substituir na primeira

b = - 10 - 3 a

Substituindo

- 2 a + 2 - 10 - 3 a = - 6

- 2 a - 20 - 6 a = - 6

- 8 a = 20 - 6

- 8 a = 14

a = - 14 8

a = - 7 4

Agora que achamos o a , precisamos substituir em qualquer uma das equações para achar o b . Vamos substituir na segunda

3 - 7 4 + b = - 10

- 21 4 + b = - 10

b = - 10 + 21 4

Igualando os denominadores

b = - 40 4 + 21 4

b = - 19 4

Então devemos ter

a = - 7 4

b = - 19 4

Resposta

a = - 7 4

b = - 19 4

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