Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 3 - ⁡ x x - 3 5

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → 3 - ⁡ x x - 3 5

Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.

Mas qual infinito? Positivo ou negativo??

Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.

Como assim??

Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando x → 3 - (quando x tende a 3 pelos números menores que 3 ).

Com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!

Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:

lim x → 3 - ⁡ x x - 3 5 = lim x → 3 - ⁡ x lim x → 3 - ⁡ x - 3 5

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando primeiramente o numerador:

lim x → 3 - ⁡ x

Perceba que quando x → 3 - , o nosso limite fica:

lim x → 3 - ⁡ x = 3

Logo, o resultado do nosso limite tende a um número positivo e próximo de 3 !!

Passo 3

Agora, analisando o denominador, temos:

lim x → 3 - ⁡ x - 3 5

Para entender melhor, vamos aplicar esse limite para um número relativamente menor e próximo de x = 3 :

lim x → 3 - ⁡ x - 3 5 = 2,999999999 … - 3 5

Perceba que o resultado da expressão " 2,999999999 … - 3 " será um número ligeiramente negativo e muito próximo de zero.

Ainda, quando elevamos a 5 ª potência, ele continua sendo negativo e muito próximo de zero.

Passo 4

Dessa forma, temos uma divisão de um número positivo por um negativo.

E uma divisão entre um número positivo e um negativo resulta em um número negativo!!

Assim, como o denominador é próximo de zero e negativo podemos concluir que o nosso limite tenderá a um número que tende a menos infinito:

lim x → 3 - ⁡ x x - 3 5 = - ∞

Passo 5

Resumindo: Uma vez que o numerador é positivo, e como o denominador se aproxima de zero por valores sempre negativos (devido ao que está dentro do parênteses ser sempre menor que zero pois estamos nos aproximando de 3 pelo lado esquerdo da reta real, e por valores menores que 3, e a exponenciação ser de valor ímpar), o valor da divisão será negativo.

Podemos confirmar o valor obtido no passo 1 através da análise do gráfico da função:

Resposta

lim x → 3 - ⁡ x x - 3 5 = - ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto. 1 5 )f x = x x a ) lim x → 0 + ⁡ f x ; b ) lim x → 0 - ⁡ f x ; c ) lim
Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto. 1 3 )G x = 2 x - 3 - 4 a ) lim x → 3 2 + ⁡ G x ; b ) lim x → 3 2 - ⁡ G
Prove que o teorema 2.4 . 4 i v :Se a for um número real qualquer e se lim x → a ⁡ f x = 0 e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não nula, entãoSe c0 e se f x → 0 por valores negativo de f x
Prove que o teorema 2.4 . 5 : i Se lim x → a ⁡ f x = + ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante qualquer então lim x → a ⁡ f x + g x = + ∞ i i Se lim x → a ⁡ f x = - ∞ e lim x → a ⁡ g x = c ,
Prove que o teorema 2.4 . 6 :Se lim x → a ⁡ f x = + ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é uma constante não-nula, então i se c0 , lim x → a ⁡ f x ∙ g x = + ∞ i i se c0 , lim x → a ⁡ f x ∙ g x = - ∞