Enunciado

Determine o limite infinito.

lim x → 5 + ⁡ x + 1 x - 5

Passo 1

Bom galera, esse enunciado é meio esquisitinho! O negócio é que ele já nos diz que o limite é infinito, então não é isso que queremos focar em discutir.

O nosso objetivo aqui é entender o sinal desse resultado, se vai ser infinito positivo ou negativo.

E pra isso, precisamos reparar nesse sinalzinho de + que aparece na nossa expressão

lim x → 5 + ⁡ x + 1 x - 5

Isso é uma nomenclatura de limites laterais. Significa que estamos considerando que x tende a 5 somente por um lado. No caso, como o sinal é de positivo, estamos nos aproximando de x   pela direita, ou seja, por valores maiores que 5.

(se a gente tivesse um sinal de – seriam valores menores que 5)

Agora vamos calcular o resultado considerando isso que relembramos!

Passo 2

Lembrando que o limite de uma razão é igual a razão dos limites:

lim x → 5 + ⁡ x + 1 x - 5 = lim x → 5 + ⁡ ( x + 1 ) lim x → 5 + ⁡ ( x - 5 )

No numerador, isso de limite lateral não vai fazer diferença, porque seja o resultado inifinitesimalmente maior ou menor que 6, o sinal vai ser positivo nos dois casos:

lim x → 5 + ⁡ ( x + 1 ) = 5 + 1 = 6

Mas no denominador vai fazer diferença, porque o resultado vai ser 0. Mas quando estamos falando de limite, não bem 0 e sim algo MUUUUIIIIITOOOO pertinho de zero. E aí faz diferença se estamos chegando da direita ou da esquerda, porque muda o sinal do resultado.

No caso, como estamos nos aproximando pela direita, estamos falando de valores maiores que 5, então o limite a seguir vai ser um número que é QUASE zero, mas positivo.

lim x → 5 + ⁡ ( x - 5 ) = 0 +

E aí a gente usa essa nomenclatura de 0 + , só pra indicar que é “um zero positivo”. Esquisito falar em sinal de zero, eu sei, mas lembre-se que no limite, estamos apenas TENDENDO a zero!

Passo 3

Retornando pra cá:

lim x → 5 + ⁡ x + 1 x - 5 = lim x → 5 + ⁡ ( x + 1 ) lim x → 5 + ⁡ ( x - 5 )

Encontramos que:

lim x → 5 + ⁡ x + 1 x - 5 = lim x → 5 + ⁡ ( x + 1 ) lim x → 5 + ⁡ ( x - 5 ) = 6 0 +

E aí que está o pulo do gato!

A gente já ta cansado de saber que se dividimos um número finito por zero (NOS LIMITES), a gente acha infinito.

Mas temos que lembrar que dividindo um número positivo por outro positivo, temos um resultado positivo!

Então nosso infinito aqui vai ser positivo.

lim x → 5 + ⁡ x + 1 x - 5 = + ∞

Uhuuulll finalmente!

Passo 4

Podemos confirmar o valor obtido no passo 1 através da análise do gráfico da função:

Viu, chegando pela direita, temos um limite pro infinito POSITIVO!

Resposta

lim x → 5 + ⁡ f ( x ) = ∞

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