Enunciado

Determine o limite infinito

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema foi dado limite

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x

E nosso objetivo é mostrar que esse limite tende ao infinito.

Parece complicado?

Basicamente o que temos que fazer é verificar o valor que a função

f x = sec ⁡ x

Quando x tende a - π / 2 pela esquerda, ou seja, para valores infinitesimalmente menores que - π / 2 ...

Para resolver esse exercício, vamos manipular a função no limite de modo que seja possivel evidenciar uma resposta.

Veja só!

Passo 2

Pelas propriedades trigonométricas, podemos reescrever o limite como

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x = lim x → - π 2 - ⁡ 1 cos ⁡ x

Agora, faremos a seguinte análise.

Quando x → - π 2 - temos que x < - π 2 , então sabemos que cos ⁡ x < 0 , porem muito próximo de 0 , mas sempre negativo.

Logo, podemos concluir que como temos uma constante sendo dividida por um numero muito próximo de 0 e negativo. O resultado dessa fração tende a valores muito grandes, em módulo, próximos de - ∞ .

lim x → 0 - ⁡ 1 x = - ∞

Então, podemos dizer que

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x = lim x → - π 2 - ⁡ 1 cos ⁡ x = - ∞

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

lim x → - π 2 - ⁡ sec ⁡ x = - ∞

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