Enunciado

Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê.

  1. lim x → 0 ⁡ f x
  2. lim x → 3 - ⁡ f x
  3. lim x → 3 + ⁡ f x
  4. lim x → 3 ⁡ f x
  5. f ( 3 )

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Vamos começar mais uma resolução 10 / 10 !

Veja bem, queremos aqui encontrarmos os limites da função em diferentes pontos, mas para isso iremos utilizar o gráfico.

Como fazer isso? E quais pontos você deve prestar mais atenção? Vem comigo que te conto.

Primeira coisa, ou uma das primeiras coisas que você deve notar ao procurar o limite utilizando o gráfico é em casos de limite

x → a

Você deve encontrar os limites laterais lim x → a + ⁡ f ( x ) ,   lim x → a - ��� f ( x ) , isso é, quando nos aproximamos de a por valores infinitesimalmente menores que a , represetando isso por a - , nós iremos chegar ao valor a pela esquerda.

Agora quando estivermos nos aproximando de a por valores infinitesimalmente maiores que a , represetando isso por a + , nós iremos chegar ao valor a pela direita. Caso os valores que encontrarmos nessas duas situações forem iguais, temo que o limite lim x → a ⁡ f ( x ) , existe, caso eles sejam diferentes o limite não existe.

Outro ponto a se prestar atenção é quando formos calcular f ( x ) , devemos prestar atenção na bolinha nos gráficos. Uma bolinha fechada indica que naquele ponto de x a função está definida onde a bolinha indica em y . Os pontos de bolinha aberta não estão definidos na função.

Passo 2

  1. A função f ( x ) é definida de ambos os lados de x = 0 e, considerando o gráfico desta função, não é difícil concluir que podemos fazer os valores da função infinitesimalmente próximos ao valor f ( 0 ) = 3 , tomando x suficientemente próximo a x = 0 de ambos os lados, mas não igual a x = 0 . Portanto, pela definição de limite, obtemos que
  2. lim x → 0 ⁡ f x = 3

  3. A função f ( x ) é definida no lado esquerdo de x = 3 e, considerando o gráfico desta função, vemos que podemos fazer os valores f ( x ) arbitrariamente próximos ao valor 4 , quando deixamos x suficientemente próximo a x = 3 pelo lado esquerdo, mas não igual a x = 3 . Portanto, pela definição do limite unilateral, obtemos que
  4. lim x → 3 - ⁡ f x = 4

    Passo 3

  5. A função f ( x ) é definida no lado direito de x = 3 e, considerando o gráfico desta função, não é difícil concluir que podemos fazer os valores f ( x ) arbitrariamente próximos ao valor 2 , tomando x suficientemente próximo a x = 3 pelo lado direito, mas não igual a x = 3 . Portanto, pela definição do limite unilateral, obtemos que
  6. lim x → 3 + ⁡ f x = 2

  7. Supondo que o limite lim x → 3 ⁡ f x exista, então, pelo teorema, temos que
  8. lim x → 3 + ⁡ f x = lim x → 3 - ⁡ f x

    O resultado das partes (b) e (c) implica que a igualdade mostrada acima não se mantém, portanto, nossa suposição não está correta. Logo, o limite lim x → 3 ⁡ f x não existe.

  9. O valor f ( 3 ) é representado por um ponto cinza na imagem, o circulo fechado que comentamos no passo 1. Uma vez que este ponto tem coordenadas ( 3,3 )   =   ( 3 ,   f ( 3 ) ) , obtemos que f ( 3 )   =   3 .

Resposta

  1. lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 3
  2. lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = 4
  3. lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = 2
  4. lim x → 3 ⁡ f ( x ) não existe, pois os limites das letras (b) e (c) não são iguais
  5. f 3 = 3
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Para a função g cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. lim t → 0 - ⁡ g t lim t → 0 + ⁡ g t lim t → 0 ⁡ g t lim t → 2 - ⁡ g t lim t → 2
Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, use-a para confirmar seu resultado. lim x → 0 ⁡ 9 x - 5 x x
Determine o limite infinito.25)lim x → 5 + ⁡ 6 x - 5
Determine o limite infinito: lim x → 1 ⁡ 2 - x ( x - 1 ) ² ²