Enunciado

Seja

g x = x                   s e   x < 1 3                   s e   x = 1 2 - x 2               s e   1 < x ≤ 2 x - 3   s e   x > 2

  1. Determine as quantidades a seguir, se existirem.
    1. lim x → 1 - ⁡ g ( x )
    2. lim x → 1 ⁡ g ( x )
    3. g ( 1 )
    4. lim x → 2 - ⁡ g ( x )
    5. lim x → 2 + ⁡ g ( x )
    6. lim x → 2 ⁡ g ( x )
  2. Esboçe o gráfico de g .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

g x = x                   s e   x < 1 3                   s e   x = 1 2 - x 2               s e   1 < x ≤ 2 x - 3   s e   x > 2

Queremos calcular os seguintes limites:

lim x → 1 - ⁡ g ( x )

lim x → 1 ⁡ g ( x )

g ( 1 )

lim x → 2 - ⁡ g ( x )

lim x → 2 + ⁡ g ( x )

lim x → 2 ⁡ g ( x )

Para isso, devemos aplicar conceitos de limites laterais.

Lembrando que os limites laterais descrevem como uma função se comporta à medida que a variável de entrada se aproxima de um valor específico a partir de um lado particular.

Existem dois tipos principais: o limite lateral direito (quando a variável se aproxima pelo lado direito) e o limite lateral esquerdo (quando a variável se aproxima pelo lado esquerdo).

Quando um limite em um ponto existe, significa dizer que os limites laterais nesse ponto são iguas!! 😉

Em outras palavras, um limite do tipo lim x → a ⁡ f ( x ) existe quando o limite lateral direito lim x → a + ⁡ f ( x ) e o limite lateral esquerdo lim x → a - ⁡ f ( x ) existem e são iguais!!

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos calcular o limite

lim x → 1 - ⁡ g ( x )

Como o limite tende a 1 pela esquerda, devemos usar o g x = x (pois essa função é válida para todo x < 1 ), assim:

lim x → 1 - ⁡ x = 1

Passo 3

Então pessoal , nós precisamos calcular o limite :

lim x → 1 ⁡ g ( x )

Para isso devemos calcular se os limites laterais são iguais , ou seja :

lim x → 1 - ⁡ g ( x ) = lim x → 1 + ⁡ g ( x )

Primeiramente bora calcular o limite lateal direito:

lim x → 1 + ⁡ g ( x )

Temos que , como o limite tende a 1 pela direita, devemos usar o g x = 2 - x ² (pois essa função é válida para todo 1 < x ≤ 2 ), assim:

lim x → 1 + ⁡ 2 - x ² = lim x → 1 + ⁡ 2 - 1 2 = 1

Logo, percebemos que os limites laterais são iguais, ou seja:

lim x → 1 - ⁡ g ( x ) = lim x → 1 + ⁡ g ( x ) = 1

Sendo assim , podemos afirmar que:

lim x → 1 ⁡ g ( x ) = 1

Reparem que apesar de sabermos que g 1 = 3 , calculamos que o limite da função quando x → 1 é dado por   lim x → 1 ⁡ g ( x ) = 1   .

Simmmm , isso pode acontecer!!!!! Nesses casos dizemos que a função é descontínua nesse ponto.

Passo 4

Para calcular

g ( 1 )

é necessário apenas olhar nas limitações da função, assim:

g 1 = 3

Passo 5

Vamos calcular

lim x → 2 - ⁡ g ( x )

Como o limite tende a 2 pela esquerda, devemos usar o g x = 2 - x ² (pois essa função é válida para todo 1 < x ≤ 2 ), assim:

lim x → 2 - ⁡ 2 - x ² = lim x → 2 - ⁡ 2 - 2 ² = - 2

Passo 6

Vamos calcular

lim x → 2 + ⁡ g ( x )

Como o limite tende a 2 pela direita, devemos usar o g x = x - 3 (pois essa função é válida para todo x > 2 ), assim:

lim x → 2 + ⁡ x - 3 = lim x → 2 + ⁡ 2 - 3 = - 1

Passo 7

O limite

lim x → 2 ⁡ g ( x )

não existe, pois seus limites laterais são diferentes:

lim x → 2 + ⁡ g ( x ) ≠ lim x → 2 - ⁡ g ( x )

Passo 8

Vamos agora esboçar o gráfico de g .

É só substituir os valores correspondentes a cada intervalo dado

Onde:

  • A reta vermelha refere-se a g x = x . Perceba que seu intervalo no gráfico é de ( - ∞ , 1 ] ;
  • O ponto A refere-se a g 1 = 3 ;
  • A curva em azul regere-se a g x = 2 - x 2 . Perceba que seu intervalo é 1,2 ;
  • A curva em verde refere-se a g x = x - 3 . Perceba que seu intervalo no gráfico é de 2 , ∞ .

Resposta

(i) lim x → 1 - ⁡ g ( x ) = 1

(ii) lim x → 1 ⁡ g ( x ) = 1

(iii) g 1 = 3

(iv) lim x → 2 - ⁡ g x = - 2

(v) lim x → 2 + ⁡ g ( x ) = - 1

(vi) lim x → 2 ⁡ g ( x ) não existe

b)

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