Enunciado

Se f (x) = ⟦x⟧ + ⟦- x⟧ , mostre que existe underset(x -> 2)(lim) f ( x ) , mas que não é igual a f ( 2 ) .

Passo 1

Primeiro vamos calcular

underset(x -> 2)(lim) f ( x )

Vamos calcular o limite tanto pela direita quanto pela esquerda:

Passo 2

Pela direita temos:

underset(x -> 2 +)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧

Temos que ⟦x⟧ = 2 para 2 <= x < 3 e ⟦- x⟧ = - 3 para - 3 <= x < - 2 , então:

underset(x -> 2 +)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧ = underset(x -> 2 +)(lim) 2 + ( - 3 ) = - 1

Passo 3

Agora pela esquerda:

underset(x -> 2 -)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧

Temos que ⟦x⟧ = 1 para 1 <= x < 2 e ⟦- x⟧ = - 2 para - 2 <= x < - 1 , então:

underset(x -> 2 -)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧ = underset(x -> 2 -)(lim) 1 + ( - 2 ) = - 1

Passo 4

Assim, como:

underset(x -> 2 +)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧ = underset(x -> 2 -)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧ = - 1

O limite

underset(x -> 2)(lim) ⟦x⟧ + ⟦- x⟧

existe, e é igual a - 1 .

Passo 5

Agora vamos mostrar que o limite não é igual a f ( 2 ) :

f (2) = ⟦2⟧ + ⟦- 2⟧ = s + (- 2) = 0

Assim,

underset(x -> 2)(lim) f ( x ) != f ( 2 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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h x = sgn ⁡ x - U x Lembrando que sgn ⁡ x é definido como sgn ⁡ x = - 1 s e x0 0 s e x = 0 1 s e x0 E U x é a função escada definida por U x = 0 s e x0 1 s e x ≥ 0 Ache, se existirem: a ) lim x → 0 +
Dada f (x) = {[[3,x,+,2,s,e,x,,4],[5,x,+,k,s,e,4,=,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - 4)(lim) f (x) existe.
Dada f (x) = {[[k,x,-,3,s,e,x,=,-,1],[x^2,+,k,s,e,-,1,,x]]) Ache o valor de k para o qual o underset(x - - 1)(lim) f (x) existe.
Sejaf (x) = {[[-,1,s,e,x,,0],[1,s,e,0,,x]]) Mostre que underset(x - 0)(lim) f (x) não existe, porém underset(x - 0)(lim) |f (x)| existe.
Dada f x = x 2 + 3 s e x ≤ 1 x + 1 s e 1x E g x = x 2 s e x ≤ 1 2 s e 1x a ) Mostre que lim x → 1 - ⁡ f x e lim x → 1 + ⁡ f x ambos existe, mas não são iguais e, portanto, lim x → 1 ⁡ f x não existe.