Enunciado

Determine o limite underset(theta -> 0^-)(lim) ( 1 + csc (theta) )

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = 1 + csc (theta) próximo a zero, por valores negativos.

Bora lá, então!

Passo 2

underset(theta -> 0^-)(lim) (1 + csc (theta))

Usando o limite da subtração é a subtração dos limites,

underset(theta -> 0^-)(lim) ( 1 + csc (theta) ) = underset(theta -> 0^-)(lim) 1 + underset(theta -> 0^-)(l i m) csc (theta)

Como 2 não depende de x , underset(theta -> 0^-)(lim) 1 = 1

1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) csc (theta) = 1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) csc (theta)

Lembre de uma parada: c s c theta = (1)/(s e n theta) . Então,

1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) csc (theta) = 1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) (1)/(s e n theta)

Pela regra do quociente: o limite do quociente é o quociente dos limites,

1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) (1)/(s e n theta) = 1 - (underset(theta -> 0^-)(l i m) 1)/(underset(theta -> 0^-)(l i m) s e n theta)

Perceba na fração, o denominador não se anula enquanto o numerador é não nulo, então nosso limite vai para oo .

Passo 3

Vamos analisar se o limite 1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) (1)/(s e n theta) será oo ou - oo .

Perceba que s e n theta trabalha assim: s e n (- theta) = - s e n theta , ou seja, s e n theta é uma função ímpar. Mas como estamos em 0^- , theta assume apenas valores negativos. Então

1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) (1)/(s e n theta) = 1 - (- oo) = oo

Ps: Não escreva 2 - oo na sua prova senão seu professor vai te cortar a questão, isso foi feito só pra você entender, apenas escreva que:

1 - underset(theta -> 0^-)(l i m) csc (theta) = oo

Logo,

underset(theta -> 0^-)(lim) (1 + csc (theta)) = oo

Resposta

underset(theta -> 0^-)(lim) (1 + csc (theta)) = oo

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