Determine o limite lim θ → 0 - ⁡ ( 1 + csc ⁡ θ )

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f x =     1 ⁡ + csc ⁡ θ   próximo a zero, por valores negativos.

Bora lá, então!

Passo 2

lim θ → 0 - ⁡ 1 + csc ⁡ θ

Usando o limite da subtração é a subtração dos limites,

lim θ → 0 - ⁡ ( 1 + csc ⁡ θ ) =   lim θ → 0 - ⁡ 1 + l i m θ → 0 - csc ⁡ θ

Como 2 não depende de x , lim θ → 0 - ⁡   1 = 1  

  ⁡   1 -   l i m θ → 0 -   csc ⁡ θ =     ⁡   1 -   l i m θ → 0 - csc ⁡ θ  

Lembre de uma parada:   c s c θ = 1 s e n θ . Então,

1 -   l i m θ → 0 - csc ⁡ θ = 1 -   l i m θ → 0 -     1 s e n θ

Pela regra do quociente: o limite do quociente é o quociente dos limites,

1 -   l i m θ → 0 -     1 s e n θ =   1 -     l i m θ → 0 -     1 l i m θ → 0 -     s e n θ

Perceba na fração, o denominador não se anula enquanto o numerador é não nulo, então nosso limite vai para ∞ .

Passo 3

Vamos analisar se o limite 1 -   l i m θ → 0 -     1 s e n θ será ou - ∞ .

Perceba que s e n θ   trabalha assim: s e n - θ =   - s e n θ , ou seja, s e n θ é uma função ímpar. Mas como estamos em 0 - , θ assume apenas valores negativos. Então

1 -   l i m θ → 0 -     1 s e n θ = 1 - - ∞ = ∞

Ps: Não escreva 2 - ∞   na sua prova senão seu professor vai te cortar a questão, isso foi feito só pra você entender, apenas escreva que:

1 -   l i m θ → 0 - csc ⁡ θ = ∞

Logo,

lim θ → 0 - ⁡ 1 + csc ⁡ θ = ∞

Resposta

lim θ → 0 - ⁡ 1 + csc ⁡ θ = ∞

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