Enunciado

Para a função abaixo calcule: underset(x -> 2)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2)

f (x) = 3 x^2

Passo 1

Para o limite dado x -> 2^() , precisamos analisar os limites laterais primeiro e calcular f ( 2 ) .

Assim: f (2) = 3 (2)^2 = 12

Para x -> 2^+ , temos que:

underset(x -> 2^+)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) (3 x^2 - 12)/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) (3 ( x + 2 ) ( x - 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) 3 (x + 2) = 12

Passo 2

De forma análoga, para x -> 2^- , temos que:

underset(x -> 2^-)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^-)(lim) (3 ( x + 2 ) ( x - 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^-)(lim) 3 (x + 2) = 12

Passo 3

Como underset(x -> 2^+)(lim) (3 x^2 - 12)/(x - 2) = 12 e underset(x -> 2^-)(lim) (3 x^2 - 12)/(x - 2) = 12 , conclui-se que como os limites laterais são iguais e portanto underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) existe e é dado por:

underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = 12

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Resposta

12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma fórmula para uma função f que satisfaça as seguintes condições: lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0;lim x → 0 ⁡ f x = - ∞ ; f 2 = 0; lim x → 3 + ⁡ f x = - ∞; lim x → 3 - ⁡ f x = ∞
Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico. y = x 2 - x 6
Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico. y = x 3 ⋅ x + 2 2 ⋅ ( x - 1 )
Encontre os limites quando x → ± ∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico. y = x 2 ⋅ x 2 - 1 2 ⋅ ( x + 2 )
Seremos capazes de mostrar, no Capítulo 9 do Volume II, que, sob certas condições, a velocidade v ( t ) de uma gota de chuva caindo no instantet é v t = v * ( 1 - e - g t v * ) Encontre lim t → ∞ ⁡ v