Determine o limite a seguir

lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   c o t g   5 y y   c o t g   4 y      

Passo 1

Já sabemos que

lim θ → 0 ⁡ s e n   θ θ = lim θ → 0 ⁡ θ s e n   θ = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Sabemos que

c o t g   x = cos  x sen ⁡ x    ⁡  

𝐸ntão

lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   c o t g   5 y y   c o t g   4 y = lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   s e n 4 y cos ⁡ 5 y y   c o s   4 y   s e n   5 y

Podemos escrever isso como

lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   s e n 4 y cos ⁡ 5 y y   c o s   4 y   s e n   5 y =   lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   y     .   sen 4 y cos  4 y ⁡   .     cos ⁡ 5 y sen  5 y ⁡   .       3   .   4   .   5 y 3   .   4   .   5 y

Reorganizando, teremos

lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   3 y     .   sen 4 y 4 y ⁡   .     5 y sen  5 y ⁡   . cos ⁡ 5 y cos ⁡ 4 y   .       3   .   4   5

Isso será igual a

lim y → 0   ⁡ s e n   3 y   3 y     .   sen 4 y 4 y ⁡   .     5 y sen  5 y ⁡   . cos ⁡ 5 y cos ⁡ 4 y   .       3   .   4   5 = 1   .     1   .     1   .   1   .     12 5   = 12 5

Resposta

12 5

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