lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y - 1

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de cos ⁡ 3 y - 1 .

lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y - 1 ∙ cos ⁡ 3 y + 1 cos ⁡ 3 y + 1

lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y + 1 cos 2 ⁡ 3 y - 1 2

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ 3 y + cos 2 ⁡ 3 y = 1

- sin 2 ⁡ 3 y = cos 2 ⁡ 3 y - 1

lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y + 1 - sin 2 ⁡ 3 y

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 36 y 2 e aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y + 1 - sin 2 ⁡ 3 y ∙ 1 12 y 2     1 12 y 2    

( - 1 ) 1 9     1 4     lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y 4 y ∙   cos ⁡ 3 y + 1 y   sin 2 ⁡ 3 y 9 y 2    

Passo 4

Agora vamos aplicar a propriedade de multiplicação de limites, divisão de limites e potência de limites. Em seguida vamos substituir 3 y por t, 4y por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

( - 1 ) 4    9   ⁡ lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y 4 y ∙ l i m y → 0 +   cos ⁡ 3 y + 1 y   lim y → 0 + ⁡ sin 2 ⁡ 3 y 9 y 2    

( - 1 ) 4    9   ⁡ lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y 4 y ∙ l i m y → 0 +   cos ⁡ 3 y + 1 y   lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 3 y 3 y     2

3 y = t ,     4 y = u

y → 0 + ⇒ t → 0 + ,     y → 0 + ⇒ u → 0 +

( - 1 ) 4    9   ⁡ lim u → 0 + ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m y → 0 +   cos ⁡ 3 y + 1 y   lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ t t     2

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 .

( - 1 ) 4    9   ⁡ 1 ∙ l i m y → 0 +   cos ⁡ 3 y + 1 y   1 2

( - 1 ) 4    9   ⁡ ∞

- ⁡ ∞

Resposta

lim y → 0 + ⁡ sin ⁡ 4 y cos ⁡ 3 y - 1 = - ⁡ ∞

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