Ache o limite, se existir.

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t sin ⁡ 2 t

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites, após vamos multiplicar e dividir o limite por 10 t .

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t ∙ lim t → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 2 t

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t lim t → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 2 t ∙ 10 t 10 t

5 2 lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t 5 t ∙ lim t → 0 ⁡ 2 t sin ⁡ 2 t

Passo 2

Agora vamos substituir 5t por u, 2t por v e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

5 t = u ,   2 t = v  

t → 0 ⇒ u → 0 ,   t → 0 ⇒ v → 0  

5 2 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim v → 0 ⁡ v sin ⁡ v

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por 1 v e aplicar a propriedade da divisão de limites.

5 2 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim v → 0 ⁡ v sin ⁡ v ∙ 1 v 1 v

5 2 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m v → 0   1 l i m v → 0 sin ⁡ v v

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1 .

5 2 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ l i m v → 0   1 l i m v → 0 sin ⁡ v v

5 2 1 ∙ 1 1

5 2

Resposta

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ 5 t sin ⁡ 2 t =   5 2

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