lim z → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 z 4 z

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de 1 -   cos ⁡ 2 z .

lim z → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 z 4 z ∙ 1 +   cos ⁡ 2 z 1 +   cos ⁡ 2 z

lim z → 0 ⁡ 1 2 -   cos 2 ⁡ 2 z 4 z ( 1 +   cos ⁡ 2 z )

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

sin 2 ⁡ 2 z + cos 2 ⁡ 2 z = 1

sin 2 ⁡ 2 z = 1 - cos 2 ⁡ 2 z

lim z → 0 ⁡ sin 2 ⁡ 2 z 4 z ( 1 +   cos ⁡ 2 z )

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites.

lim z → 0 ⁡ sin ⁡ 2 z 4 z ∙ lim z → 0 ⁡ sin ⁡ 2 z ( 1 +   cos ⁡ 2 z )

Passo 4

Agora vamos manipular o 4z e substituir 2z por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

1 2 ∙ lim z → 0 ⁡ sin ⁡ 2 z 2 z ∙ lim z → 0 ⁡ sin ⁡ 2 z ( 1 +   cos ⁡ 2 z )

2 z = u

z → 0 ⇒ u → 0  

1 2 lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u ∙ lim z → 0 ⁡ sin ⁡ 2 z ( 1 +   cos ⁡ 2 z )

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1 .

1 2 1 ∙ lim z → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∙ 0 ( 1 +   cos ⁡ 2 ∙ 0 )

1 2 1 ∙ 0 ( 1 +   1 )

1 2 ∙ 0

0

Resposta

lim z → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ 2 z 4 z = 0

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