Enunciado

2.18. Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.

lim x → 0 - ⁡ f x = 2 ,   lim x → 0 + ⁡ f x = 0 ,   lim x → 4 - ⁡ f x = 3 ,   lim x → 4 + ⁡ f x = 0 , f 0 = 2 ,   f 4 = 1  

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos deu os seguintes limites de uma função f x :

lim x → 0 - ⁡ f x = 2

lim x → 0 + ⁡ f x = 0

lim x → 4 - ⁡ f x = 3

lim x → 4 + ⁡ f x = 0

E esses dois pontos:

f 0 = 2

  f 4 = 1  

Com essas informações queremos esboçar o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.

Para isso, temos que interpretar cada informação dessa.

E aí?? Bora lá?? 😉

Então, pessoal, uma dica para esse tipo de questão é: comece sempre marcando no gráfico a bolinha cheia onde você a sabe que a função é definida naquele ponto.

Neste caso, a gente começa marcando onde estão: f 0 = 2 e   f 4 = 1 .

Feito isso, a gente olha para os limites!

Aí é só desenha uma função que leve para onde o limite indica, mas marcá-la com a bolinha vazia, caso a função exista em outro ponto.

Vamos lá!

Passo 2

No ponto x = 4 , quando olhamos pelos valores que se aproximam pela esquerda, temos:

lim x → 4 - ⁡ f x = 3

Que significa que a função tende a 3 .

Por outro lado, olhando para os valores que se aproximam pela direita, temos:

lim x → 4 + ⁡ f x = 0

Que significa que a função tende a 0 .

Passo 3

Ainda temos esses dois limites:

lim x → 0 - ⁡ f x = 2

lim x → 0 + ⁡ f x = 0

Isso quer dizer que quando x se aproxima de zero pela esquerda, a função tende a 2 .

Por outro lado, quando se aproxima de zero pela direita, a função tende a zero!!

Com essas informações, o gráfico vai ficar o seguinte:

Lembrando que as bolinhas preenchidas significam que o ponto pertence a função, e as bolinhas que não estão preenchidas, significa que o ponto não está na função.

Resposta

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65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.68. lim x → 0 - ⁡ - x = 0
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.66. lim x → 1 - ⁡ 3 x + 2 = 5
58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .b) M = 1000
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.73. a) lim x → + ∞ ⁡ x + 1 = + ∞
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.72. a) lim x → 0 + ⁡ 1 x = + ∞