Enunciado

(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa x C M ,   y C M ,   z C M de um arame fino com função densidade ρ x ,   y ,   z e forma da curva espacial C .

(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice x = 2   s e n t   ,     y = 2 cos ⁡ t   ,     z = 3 t   ,       0 ≤ t ≤ 2 π   , se a densidade for uma constante k .

Passo 1

(a) Pessoal, podemos escrever as coordenadas do centro de massa como integrais de linha, assim:

x C M = 1 m ∫ C x   ρ x ,   y ,   z d s

y C M = 1 m ∫ C y   ρ x ,   y ,   z d s

z C M = 1 m ∫ C z   ρ x ,   y ,   z d s

onde temos a massa calculada assim:

m = ∫ C ρ x ,   y ,   z d s

Passo 2

(b) Show! Podemos usar as equações obtidas pra determinar o centro de massa do arame. Vamos usar a parametrização dada pelo exercício para conseguirmos escrever a integral de linha como uma integral iterada:

x = 2   s e n   t   ,       y = 2 cos ⁡ t ,       z = 3 t   ,         0 ≤ t ≤ 2 π

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2   d t = 2 cos ⁡ t 2 + - 2   s e n   t 2 + 3 2   d t = 4 + 9   d t = 13   d t

Vamos primeiro calcular a massa:

m = ∫ C ρ x ,   y ,   z d s = ∫ 0 2 π 13   k d t = 13   k t 0 2 π = 13   k 2 π - 0 = 2 π k 13

Passo 3

Show! Agora vamos calcular as coordenadas do centro de massa, também usando as equações do item (a):

x C M = 1 m ∫ C x   ρ x ,   y ,   z d s = 1 2 π k 13 ∫ 0 2 π 13   k 2   s e n   t d t = 1 π - cos ⁡ t 0 2 π = 1 π - 1 + 1 = 0

y C M = 1 m ∫ C y   ρ x ,   y ,   z d s = 1 2 π k 13 ∫ 0 2 π 13   k 2 cos ⁡ t d t = 1 π s e n   t 0 2 π = 1 π 0 - 0 = 0

z C M = 1 m ∫ C z   ρ x ,   y ,   z d s = 1 2 π k 13 ∫ 0 2 π 13   k 3 t d t = 3 2 π t 2 2 0 2 π = 3 4 π 4 π 2 - 0 = 3 π

Resposta

(b) 0 ,   0 ,   3 π

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Uma lâmina plana com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C . Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são I x = - ρ 3 ∮
Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano x y . Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide ( x - ,y - ) de D são x - = 1 2 A ∮ C x 2d y y - = -
Utilize o Exercício 25 para achar o momento de inércia de um círculo de raio a com densidade constante em relação a um diâmetro (compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5).
Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região triangular de vértices 0,0 ,( a , 0 ) e ( a , b ) , onde a0 e b0 .
32- Determine a massa e o centro de massa de uma arame fino no formato de um quarto de círculo x 2 + y 2 = r 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , se a função densidade for ρ x , y = x + y