Enunciado

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ .

E é o sólido do Exercício 11; ρ x , y , z = 2

Passo 1

No exercício 11 foi dado que E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1 .

Então podemos colocar a variação de z como

0 ≤ z ≤ 1 + x + y

E no plano x y temos

As variações podem ser colocadas como

y 2 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

Então

m = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2   d z d x d y

= 2 ∫ 0 1 ∫ y 2 1 1 + x + y   d x d y = 2 ∫ 0 1 x + x 2 2 + x y y 2 1   d y

= 2 ∫ 0 1 1 + 1 2 + y - y 2 + y 4 2 + y 3   d y = 2 ∫ 0 1 3 2 + y - y 2 - y 3 - y 4 2   d y

= 2 3 2 y + y 2 2 - y 3 3 - y 4 4 - y 5 10 0 1 = 2 3 2 + 1 2 - 1 3 - 1 4 - 1 10

= 2 2 - 1 3 - 1 4 - 1 10 = 2 120 - 20 - 15 - 6 60

m = 79 30

Passo 3

O centro de massa é dado por ( x - , y - , z - ) onde

x - = M y z m                     y - = M x z m                     z - = M x y m

Calculando os momentos, primeiro no plano y z

M y z = ∭ E x   ρ   d V = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2 x   d z d x d y

= 2 ∫ 0 1 ∫ y 2 1 1 + x + y x   d x d y = 2 ∫ 0 1 ∫ y 2 1 x + x 2 + x y   d x d y

= 2 ∫ 0 1 x 2 2 + x 3 3 + x 2 y 2 y 2 1 d y = 2 ∫ 0 1 1 2 + 1 3 + y 2 - y 4 2 + y 6 3 + y 5 2 d y

= 2 ∫ 0 1 5 6 + y 2 - y 4 2 - y 5 2 - y 6 3 d y = 2 5 6 y + y 2 4 - y 5 10 - y 6 12 - y 7 21 0 1

= 2 5 6 + 1 4 - 1 10 - 1 12 - 1 21 = 2 350 + 105 - 42 - 35 - 20 420

= 358 210 = 179 105

M y z = 179 105

No plano x z

M x z = ∭ E y   ρ   d V = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2 y   d z d x d y

= ∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y 1 + x + y   d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 2 y + 2 y x + 2 y 2   d x d y

∫ 0 1 2 x y + x 2 y + 2 x y 2 y 2 1 d y = ∫ 0 1 2 y + y + 2 y 2 - 2 y 3 + y 5 + 2 y 4 d y

= ∫ 0 1 3 y + 2 y 2 - 2 y 3 - 2 y 4 - y 5 d y = 3 y 2 2 + 2 y 3 3 - y 4 2 - 2 y 5 5 - y 6 6 0 1

= 3 2 + 2 3 - 1 2 - 1 5 - 1 6 = 1 + 2 3 - 2 5 - 1 6

= 30 + 20 - 12 - 5 30 = 33 30 = 11 10

E no plano x y

M x y = ∭ E z   ρ   d V = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 ∫ 0 1 + x + y 2 z   d z d x d y

= ∫ 0 1 ∫ y 2 1 z 2 0 1 + x + y d x d y = ∫ 0 1 ∫ y 2 1 1 + x + y 2   d x d y

= ∫ 0 1 1 + x + y 3 3 y 2 1 d y = ∫ 0 1 2 + y 3 3 - 1 + y 2 + y 3 3   d y

∫ 0 1 2 + y 3 3 - 1 + 3 y + 6 y 2 + 7 y 3 + 6 y 4 + 3 y 5 + y 6 3   d y

= 2 + y 4 12 - y 3 - y 2 2 - 2 y 3 3 - 7 y 4 12 - 2 y 5 5 - y 6 6 - y 7 21 0 1

= 3 4 12 - 1 3 - 1 2 - 2 3 - 7 12 - 2 5 - 1 6 - 1 21 - 2 4 12 = 74 12 - 1 - 1 2 - 2 5 - 1 6 - 1 21 - 16 12

= 37 6 - 1 - 1 2 - 2 5 - 1 6 - 1 21 - 4 3 = 6 - 1 - 1 2 - 2 5 - 1 21 - 4 3

= 1050 - 105 - 84 - 10 - 280 210 = 57 1 210

Passo 4

Calculando as coordenadas do centro de massa

x - = M y z m = 179 105 79 30 = 179 ⋅ 30 105 ⋅ 79 = 179 ⋅ 2 7 ⋅ 79 = 358 553

y - = M x z m = 11 10 79 30 = 33 79

z - = M x y m = 571 210 79 30 = 571 ⋅ 30 210 ⋅ 79 = 571 553

Então temos

x - , y - , z - = 358 553 , 33 79 , 571 553

Resposta

m = 79 30

x - , y - , z - = 358 553 , 33 79 , 571 553

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é limitado pelo cilindro parabolóico z = 1 - y 2 e pelos planos x + z = 1 , x = 0 e z = 0 ; ρ x , y , z = 4
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z .
Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a( a0 ) , se S tem densidade constante K .